QUESTÃO 21 (Mauá)
Considere, no plano cartesiano, a circunferência C de equação (x - 1)² + (y - 1)² = 1 e o ponto A de coordenadas (1, 3). Uma reta t, com coeficiente angular negativo, passa por A e é tangente a C em um ponto B. É correto afirmar que as distâncias de A a B e do ponto de interseção da reta t com o eixo das abscissas até a origem do sistema de coordenadas são, respectivamente,
a) √3 e 1 + √3
b) √3 e 1 + 3√3

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos:

1. **Identificar a circunferência e o ponto A:**

A equação da circunferência $ C $ é $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$, com centro em $(1, 1)$ e raio $1$.

O ponto $ A $ tem coordenadas $(1, 3)$.

2. **Determinar a reta tangente $ t $:**

A reta $ t $ passa por $ A(1, 3) $ e é tangente à circunferência. Como o coeficiente angular é negativo e a reta é tangente, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio.

Calculamos o coeficiente angular da reta que passa pelo centro e por $ A $:

$$
   m = \frac{3 - 1}{1 - 1} \rightarrow \text{indefinido, mas sabemos que a reta é vertical}
   $$

No entanto, como a reta $ t $ é tangente e tem coeficiente angular negativo, ela não pode ser vertical. Precisamos usar a condição de tangência.

3. **Equação da reta tangente:**

A equação geral da reta é $ y - 3 = m(x - 1) $.

A distância do ponto $(1, 1)$ até a reta deve ser igual a $ 1 $. Usando a fórmula da distância de um ponto à reta:

$$
   \frac{|m \cdot 1 - 1 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1
   $$

Simplificando, temos:

$$
   |m + 2| = \sqrt{m^2 + 1}
   $$

Resolvendo essa equação, obtemos $ m = -\sqrt{3} $.

4. **Interseção da reta com o eixo das abscissas:**

Substituímos $ y = 0 $ na equação da reta:

$$
   0 - 3 = -\sqrt{3}(x - 1)
   $$

$$
   -3 = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}
   $$

$$
   \sqrt{3}x = \sqrt{3} - 3
   $$

$$
   x = 1 - \frac{3}{\sqrt{3}} = 1 - \sqrt{3}
   $$

5. **Distâncias:**

- Distância de $ A(1, 3) $ à origem: $\sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

- Distância do ponto de interseção ($1 - \sqrt{3}, 0$) à origem: $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$.

Simplificando, temos:

$$
   = \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}
   $$

Portanto, as distâncias são $\sqrt{3}$ e $1 + \sqrt{3}$.

**Resposta: A**

As distâncias são $\sqrt{3}$ e $1 + \sqrt{3}$.

QUESTÃO 21 (Mauá) Considere, no plano cartesiano, a circunfe...

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