Questão 3 Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas e resolveu apostar no naipe de copas. Se denotarmos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerando que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Considere que em um baralho a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13/52. Dados: P(X) = P(X = x) = C_n^x p^x q^(n-x) P_X = P_X - x = e^(-λ) λ^x / x!

Para resolver essa questão, vamos usar a distribuição binomial, já que estamos lidando com um número fixo de sorteios independentes, cada um com duas possibilidades (tirar copas ou não).

Dados:

• Número de sorteios ($n$): 7
• Probabilidade de sucesso (tirar copas em um sorteio, $p$): $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• Probabilidade de falha ($q$): $1 - p = \frac{3}{4}$

Queremos calcular a probabilidade de obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Isso é equivalente a calcular:

$$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))$$

A fórmula da distribuição binomial é:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$

Vamos calcular cada termo:

1. $P(X = 0)$:

$$P(X = 0) = \binom{7}{0} \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^7 = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^7$$

1. $P(X = 1)$:

$$P(X = 1) = \binom{7}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^6 = 7 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^6$$

1. $P(X = 2)$:

$$P(X = 2) = \binom{7}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 21 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{243}{1024}\right)$$

Agora, calculamos cada probabilidade e somamos os resultados para encontrar $P(X < 3)$:

• $P(X = 0) \approx 0.1335$
• $P(X = 1) \approx 0.3115$
• $P(X = 2) \approx 0.3115$

Somando:

$$P(X < 3) \approx 0.1335 + 0.3115 + 0.3115 = 0.7565$$

Finalmente, calculamos $P(X \geq 3)$:

$$P(X \geq 3) = 1 - 0.7565 = 0.2435$$

Portanto, a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios é 0.2435.