Questão 31
Um pai desafiou a sua filha a obter a senha de rede de internet de sua casa. A senha é o determinante da matriz A. A matriz A é de ordem 3 e formada pelos elementos aij, em que i indica a posição da linha e j a posição da coluna do elemento e é dada por:

aij = { x^3 + 2j se i ≠ j \sqrt{i}·j se i = j }

Pode-se afirmar que a senha da internet é o número:
(A) 3216
(B) 7760
(C) 4000
(D) 2540
(E) 5840

Question

Questão 31
Um pai desafiou a sua filha a obter a senha de rede de internet de sua casa. A senha é o determinante da matriz A. A matriz A é de ordem 3 e formada pelos elementos aij, em que i indica a posição da linha e j a posição da coluna do elemento e é dada por:

aij = { x^3 + 2j se i ≠ j \sqrt{i}·j se i = j }

Pode-se afirmar que a senha da internet é o número:
(A) 3216
(B) 7760
(C) 4000
(D) 2540
(E) 5840

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular o determinante da matriz $ A $, que é uma matriz $ 3 \times 3 $ com elementos $ a_{ij} $ definidos por:

$$
a_{ij} = 
\begin{cases} 
i^3 + 2j, & \text{se } i \neq j \ 
\sqrt{i \cdot j}, & \text{se } i = j 
\end{cases}
$$

Primeiro, vamos construir a matriz $ A $:

- $ a_{11} = \sqrt{1 \cdot 1} = 1 $
- $ a_{12} = 1^3 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 $
- $ a_{13} = 1^3 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7 $

- $ a_{21} = 2^3 + 2 \cdot 1 = 8 + 2 = 10 $
- $ a_{22} = \sqrt{2 \cdot 2} = 2 $
- $ a_{23} = 2^3 + 2 \cdot 3 = 8 + 6 = 14 $

- $ a_{31} = 3^3 + 2 \cdot 1 = 27 + 2 = 29 $
- $ a_{32} = 3^3 + 2 \cdot 2 = 27 + 4 = 31 $
- $ a_{33} = \sqrt{3 \cdot 3} = 3 $

A matriz $ A $ é:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 5 & 7 \
10 & 2 & 14 \
29 & 31 & 3
\end{bmatrix}
$$

Agora, calculamos o determinante de $ A $:

$$
\det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 3 - 14 \cdot 31) - 5 \cdot (10 \cdot 3 - 14 \cdot 29) + 7 \cdot (10 \cdot 31 - 2 \cdot 29)
$$

Calculando cada termo:

1. $ 2 \cdot 3 - 14 \cdot 31 = 6 - 434 = -428 $
2. $ 10 \cdot 3 - 14 \cdot 29 = 30 - 406 = -376 $
3. $ 10 \cdot 31 - 2 \cdot 29 = 310 - 58 = 252 $

Substituindo:

$$
\det(A) = 1 \cdot (-428) - 5 \cdot (-376) + 7 \cdot 252
$$

$$
= -428 + 1880 + 1764
$$

$$
= 3216
$$

Portanto, a senha da internet é o número **3216**.

**Resposta: A**

Questão 31 Um pai desafiou a sua filha a obter a senha de re...

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