Questão 4
O valor de z^8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i^2 = -1)
a) 3024
b) 4096

Q: Questão 4 O valor de z^8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i^2 = -1) a) 3024 b) 4096

Para calcular $ z^8 $ onde $ z = 2 - 2i $, podemos usar a forma polar dos números complexos. Primeiro, encontramos o módulo de $ z $: \[ |z| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Agora, calculamos o argumento $ \theta $: \[ \tan \theta = \frac{-2}{2} = -1 \implies \theta = -\frac{\pi}{4} \] Assim, a forma polar de $ z $ é: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Para calcular $ z^8 $, usamos a fórmula de De Moivre: \[ z^8 = \left(2\sqrt{2}\right)^8 \left( \cos \left(8 \times -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(8 \times -\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Calculando $ \left(2\sqrt{2}\right)^8 $: \[ \left(2\sqrt{2}\right)^8 = (2^1 \cdot 2^{0.5})^8 = 2^{12} = 4096 \] E o argumento: \[ 8 \times -\frac{\pi}{4} = -2\pi \] Portanto, $ \cos(-2\pi) = 1 $ e $ \sin(-2\pi) = 0 $. Assim, temos: \[ z^8 = 4096 \times (1 + 0i) = 4096 \] **Resposta: b) 4096**

Question

Accepted Answer

Para calcular $ z^8 $ onde $ z = 2 - 2i $, podemos usar a forma polar dos números complexos.

Primeiro, encontramos o módulo de $ z $:

$$
|z| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Agora, calculamos o argumento $ \theta $:

$$
\tan \theta = \frac{-2}{2} = -1 \implies \theta = -\frac{\pi}{4}
$$

Assim, a forma polar de $ z $ é:

$$
z = 2\sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)
$$

Para calcular $ z^8 $, usamos a fórmula de De Moivre:

$$
z^8 = \left(2\sqrt{2}\right)^8 \left( \cos \left(8 \times -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(8 \times -\frac{\pi}{4}\right) \right)
$$

Calculando $ \left(2\sqrt{2}\right)^8 $:

$$
\left(2\sqrt{2}\right)^8 = (2^1 \cdot 2^{0.5})^8 = 2^{12} = 4096
$$

E o argumento:

$$
8 \times -\frac{\pi}{4} = -2\pi
$$

Portanto, $ \cos(-2\pi) = 1 $ e $ \sin(-2\pi) = 0 $.

Assim, temos:

$$
z^8 = 4096 \times (1 + 0i) = 4096
$$

**Resposta: b) 4096**

Questão 4 O valor de z^8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i^2 = -1) a) 3024 b) 4096

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