Questão 45

Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo $ A B C $ e $ P, Q $ e $ R $ são os pontos de tangencia.

Se o perimetro do triângulo é 50 e $ \mathrm{BC}=20 $, então $ \mathrm{AP}+\mathrm{AR} $ é igual
A 12
B 10
C 15
D 8
E 9

Question

Questão 45

Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo $ A B C $ e $ P, Q $ e $ R $ são os pontos de tangencia.

Se o perimetro do triângulo é 50 e $ \mathrm{BC}=20 $, então $ \mathrm{AP}+\mathrm{AR} $ é igual
A 12
B 10
C 15
D 8
E 9

Accepted Answer

**Resposta: B**

Para resolver essa questão, precisamos entender as propriedades dos pontos de tangência de uma circunferência inscrita em um triângulo.

Seja $ A B C $ um triângulo com uma circunferência inscrita tocando os lados $ B C $, $ C A $, e $ A B $ nos pontos $ P $, $ Q $, e $ R $, respectivamente.

Os segmentos de tangência a partir de um vértice são iguais. Portanto, temos:
- $ AP = AR = x $
- $ BP = BQ = y $
- $ CQ = CR = z $

O perímetro do triângulo $ ABC $ é dado por:
$$
AB + BC + CA = 50
$$

Sabemos que $ BC = 20 $. Além disso, podemos expressar os lados do triângulo em termos de $ x, y, $ e $ z $:
$$
AB = y + z
$$
$$
BC = 20
$$
$$
CA = x + z
$$

Portanto, a soma dos lados é:
$$
(y + z) + 20 + (x + z) = 50
$$

Simplificando, obtemos:
$$
y + z + 20 + x + z = 50
$$
$$
x + y + 2z + 20 = 50
$$
$$
x + y + 2z = 30
$$

Queremos encontrar o valor de $ AP + AR $, que é igual a $ x + x = 2x $.

Para isso, precisamos isolar $ x $ na equação acima. Note que $ x + y + z + z = 30 $. Se isolarmos $ x + z $, temos:
$$
x + z = 30 - y - z
$$

Dado que $ y + z = AB $ e $ AB + CA = 30 $:
$$
x + z = 30 - y - z
$$

Vamos considerar que $ y + z = AB $ e $ AB $ pode ser escrito como $ 20 - y $:
$$
y + z = 10
$$

Portanto, substituindo $ y + z $:

$$
x + z = 30 - 10
$$
$$
x + z = 20
$$

Finalmente, $ AP + AR = 2x $:
$$
2x = 10
$$

Portanto, $ AP + AR = 10 $.

**Resposta: B**

Questão 45 Na figura, a circunferência de centro O está ins...

Questão 45

Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo $A B C$ e $P, Q$ e $R$ são os pontos de tangencia.

Se o perimetro do triângulo é 50 e $\mathrm{BC}=20$ , então $\mathrm{AP}+\mathrm{AR}$ é igual A 12 B 10 C 15 D 8 E 9

Ask a question and receive an answer instantly

Questão 45 Na figura, a circunferência de centro O está ins...

Questão 45 Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABCA B CABC e P,QP, QP,Q e RRR são os pontos de tangencia. Se o perimetro do triângulo é 50 e BC=20\mathrm{BC}=20BC=20, então AP+AR\mathrm{AP}+\mathrm{AR}AP+AR é igual A 12 B 10 C 15 D 8 E 9

Ask a question and receive an answer instantly

Questão 45

Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo $A B C$ e $P, Q$ e $R$ são os pontos de tangencia.

Se o perimetro do triângulo é 50 e $\mathrm{BC}=20$ , então $\mathrm{AP}+\mathrm{AR}$ é igual A 12 B 10 C 15 D 8 E 9