Questão 5. Considere a equação $ (x-4)^{2}+(y+7)^{2}=2 k-3 $, sendo $ k $ uma constante real. Determine os valores de $ k $ para que essa equaçio represente:
a) uma circunferëncia.
b) um ponto.
c) o conjunto vazio.

Questão 6. (Uece) Sejam $ M(7,-2) $ e $ N(5,4) $. Se $ C $ é uma circunferência que tem o segmento $ M N $ como um diâmetro, entāo a equação de $ C $ é:
a) $ x^{2}+y^{2}-12 x-2 y+27=0 $
b) $ x^{2}+y^{2}+12 x-2 y+27=0 $

Question

Questão 5. Considere a equação $ (x-4)^{2}+(y+7)^{2}=2 k-3 $, sendo $ k $ uma constante real. Determine os valores de $ k $ para que essa equaçio represente:
a) uma circunferëncia.
b) um ponto.
c) o conjunto vazio.

Questão 6. (Uece) Sejam $ M(7,-2) $ e $ N(5,4) $. Se $ C $ é uma circunferência que tem o segmento $ M N $ como um diâmetro, entāo a equação de $ C $ é:
a) $ x^{2}+y^{2}-12 x-2 y+27=0 $
b) $ x^{2}+y^{2}+12 x-2 y+27=0 $

Accepted Answer

**Questão 5** Para determinar os valores de $ k $ para que a equação $ (x-4)^{2}+(y+7)^{2}=2k-3 $ represente uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio, precisamos analisar a expressão $ 2k-3 $. A equação geral de uma circunferência com centro em $(h,k)$ e raio $r$ é dada por: $$ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 $$ Comparando com a equação fornecida $ (x-4)^{2}+(y+7)^{2}=2k-3 $, podemos identificar: - O centro da circunferência é $(4, -7)$. - O raio ao quadrado é $ r^2 = 2k-3 $. Para que essa equação represente uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio, precisamos considerar os valores de $ r^2 $: a) **Uma circunferência:** Para que a equação represente uma circunferência, $ r^2 $ deve ser positivo: $$ 2k - 3 > 0 $$ $$ 2k > 3 $$ $$ k > \frac{3}{2} $$ b) **Um ponto:** Para que a equação represente um ponto, $ r^2 $ deve ser igual a zero: $$ 2k - 3 = 0 $$ $$ 2k = 3 $$ $$ k = \frac{3}{2} $$ c) **O conjunto vazio:** Para que a equação represente o conjunto vazio, $ r^2 $ deve ser negativo: $$ 2k - 3 < 0 $$ $$ 2k < 3 $$ $$ k < \frac{3}{2} $$ Resumindo: - Para representar uma circunferência: $ k > \frac{3}{2} $ - Para representar um ponto: $ k = \frac{3}{2} $ - Para representar o conjunto vazio: $ k < \frac{3}{2} $ --- **Questão 6** Para determinar a equação da circunferência que tem o segmento $ MN $ como diâmetro, primeiro precisamos encontrar o centro da circunferência e seu raio. Os pontos $ M(7, -2) $ e $ N(5, 4) $ são os extremos do diâmetro da circunferência. O centro da circunferência $ C $ é o ponto médio do segmento $ MN $: $$ C = \left( \frac{7+5}{2}, \frac{-2+4}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}, \frac{2}{2} \right) = (6, 1) $$ Agora, calculamos o raio, que é metade do comprimento do diâmetro $ MN $. A distância entre $ M $ e $ N $ é dada por: $$ d = \sqrt{(7 - 5)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $$ O raio $ r $ é metade dessa distância: $$ r = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} $$ A equação da circunferência com centro em $ (6, 1) $ e raio $ \sqrt{10} $ é: $$ (x - 6)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{10})^2 $$ $$ (x - 6)^2 + (y - 1)^2 = 10 $$ Expandindo e simplificando, obtemos: $$ (x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 2y + 1) = 10 $$ $$ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 37 = 10 $$ $$ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 27 = 0 $$ Portanto, a equação da circunferência é: **Resposta: a)** $$ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 27 = 0 $$

Questão 5. Considere a equação

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