Questão 6

Derivar uma função implicitamente exige, dentre outras regras de derivação, a aplicaçäo da regra da cadeia para derivadas.

Suponha que $ y=f(x) $ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação $ (x-y)^{2}=x+y+1 $.
Calcule a derivada de $ y $ em relação a x e assinale a alternativa correta.
A.
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-y}{-2 x-1} $
B.
$ \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+2 y}{-2 x+2 y} $
C.
$ \frac{d y}{d x}=2 x-2 y-1 $
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-x+y}{-2 x+2 y-1} $
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-2 x+2 y}{-2 x+2 y-1} $
$ 24^{\circ} \mathrm{C} $
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Question

Questão 6

Derivar uma função implicitamente exige, dentre outras regras de derivação, a aplicaçäo da regra da cadeia para derivadas.

Suponha que $ y=f(x) $ seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação $ (x-y)^{2}=x+y+1 $.
Calcule a derivada de $ y $ em relação a x e assinale a alternativa correta.
A.
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-y}{-2 x-1} $
B.
$ \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+2 y}{-2 x+2 y} $
C.
$ \frac{d y}{d x}=2 x-2 y-1 $
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-x+y}{-2 x+2 y-1} $
$ \frac{d y}{d x}=\frac{1-2 x+2 y}{-2 x+2 y-1} $
$ 24^{\circ} \mathrm{C} $
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Accepted Answer

Para resolver a equação implicitamente, precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos começar derivando ambos os lados da equação $ (x-y)^2 = x + y + 1 $ em relação a $ x $.

Primeiro, derive o lado esquerdo:
$$
\frac{d}{dx}\left((x-y)^2\right) = 2(x-y)\frac{d}{dx}(x-y)
$$
Sabemos que $ \frac{d}{dx}(x-y) = 1 - \frac{dy}{dx} $, então:
$$
2(x-y)(1 - \frac{dy}{dx})
$$

Agora, derive o lado direito:
$$
\frac{d}{dx}(x + y + 1) = 1 + \frac{dy}{dx}
$$

Igualando as duas derivadas, obtemos:
$$
2(x-y)(1 - \frac{dy}{dx}) = 1 + \frac{dy}{dx}
$$

Agora, vamos resolver para $ \frac{dy}{dx} $:
$$
2(x-y) - 2(x-y)\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}
$$

Agrupando os termos de $ \frac{dy}{dx} $ de um lado:
$$
-2(x-y)\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - 2(x-y)
$$

Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
$$
\left(-2(x-y) - 1\right)\frac{dy}{dx} = 1 - 2(x-y)
$$

Finalmente, isolando $ \frac{dy}{dx} $:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2(x-y)}{-2(x-y) - 1}
$$

Simplificando:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x + 2y}{-2x + 2y - 1}
$$

Portanto, a alternativa correta é:

\textbf{Resposta: E}

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x + 2y}{-2x + 2y - 1}
$$

Questão 6 Derivar uma função implicitamente exige, dentre o...

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