QUESTÃO 6: O programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva cobra mensalidade de R$ 50,00 dos sócios. Atualmente, o programa conta com 500 sócios e a agremiação estima que a cada R$ 5,00 de aumento na mensalidade irá perder 8 sócios. Considerando apenas aumentos mensais de R$ 5,00, o maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode gerar para a agremiação é de a) R$ 72.240,00. b) R$ 52.560,00. c) R$ 70.420,00. d) R$ 62.280,00. e) R$ 77.560,00.
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Eliel
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06/12/24

Question

QUESTÃO 6: O programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva cobra mensalidade de R$ 50,00 dos sócios. Atualmente, o programa conta com 500 sócios e a agremiação estima que a cada R$ 5,00 de aumento na mensalidade irá perder 8 sócios. Considerando apenas aumentos mensais de R$ 5,00, o maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode gerar para a agremiação é de a) R$ 72.240,00. b) R$ 52.560,00. c) R$ 70.420,00. d) R$ 62.280,00. e) R$ 77.560,00.

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06/12/24

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos definir as variáveis e a função de faturamento:

- Mensalidade inicial: $ R\$ 50,00 $
- Número inicial de sócios: 500
- A cada aumento de $ R\$ 5,00 $, perde-se 8 sócios.

Vamos definir:
- $ x $ como o número de aumentos de $ R\$ 5,00 $.

A mensalidade será então $ 50 + 5x $.
O número de sócios será $ 500 - 8x $.

O faturamento $ F(x) $ é dado por:

$$ F(x) = (50 + 5x)(500 - 8x) $$

Para encontrar o maior faturamento, precisamos maximizar essa função quadrática.

Expandindo a função:

$$ F(x) = 25000 + 250x - 400x - 40x^2 $$
$$ F(x) = 25000 - 150x - 40x^2 $$

A função é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de $ x^2 $ negativo). O ponto de máximo ocorre no vértice da parábola, calculado por:

$$ x = -\frac{b}{2a} $$

onde $ a = -40 $ e $ b = -150 $.

$$ x = -\frac{-150}{2 \times -40} $$
$$ x = \frac{150}{80} $$
$$ x = 1,875 $$

Como $ x $ deve ser um número inteiro, testamos $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Para $ x = 1 $:

$$ F(1) = (50 + 5 \times 1)(500 - 8 \times 1) $$
$$ F(1) = 55 \times 492 $$
$$ F(1) = 27.060 $$

Para $ x = 2 $:

$$ F(2) = (50 + 5 \times 2)(500 - 8 \times 2) $$
$$ F(2) = 60 \times 484 $$
$$ F(2) = 29.040 $$

Portanto, o maior faturamento mensal é **R$ 29.040,00**.

Parece que houve um erro na análise ou nas opções apresentadas. Poderia verificar se a imagem está completa ou se há alguma informação adicional?