Questão 8
Um conjunto de funções é linearmente independente se o determinante Wronskiano for diferente de zero, caso contrário, as funções deste conjunto são linearmente dependentes. Com relação ao estudo do determinante Wronskiano para a análise de soluções para EDOs, analise as afirmativas a seguir.
I) As funções

y_1(x) = x^3 e y_2(x) = x^1
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (0,+∞)
II) As funções

y_1(x) = 0; y_2(x) = -x e y_3(x) = e^x
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
III) As funções

y_1(x) = e^{-3x} e y_2(x) = e^{x}
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
IV) As funções

y_1(x) = 1 + x^2cos(ln x) e y_2(x) = sin(ln x)
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
Baseados nos conteúdos da unidade e nas informações do texto-base, assinale a alternativa que representa apenas as afirmações verdadeiras.
A. I, III e IV
B. II
C. I e III
D. I e IV
E. II e IV

Question

Questão 8
Um conjunto de funções é linearmente independente se o determinante Wronskiano for diferente de zero, caso contrário, as funções deste conjunto são linearmente dependentes. Com relação ao estudo do determinante Wronskiano para a análise de soluções para EDOs, analise as afirmativas a seguir.
I) As funções

y_1(x) = x^3 e y_2(x) = x^1
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (0,+∞)
II) As funções

y_1(x) = 0; y_2(x) = -x e y_3(x) = e^x
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
III) As funções

y_1(x) = e^{-3x} e y_2(x) = e^{x}
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
IV) As funções

y_1(x) = 1 + x^2cos(ln x) e y_2(x) = sin(ln x)
formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-∞,+∞)
Baseados nos conteúdos da unidade e nas informações do texto-base, assinale a alternativa que representa apenas as afirmações verdadeiras.
A. I, III e IV
B. II
C. I e III
D. I e IV
E. II e IV

Accepted Answer

Para determinar quais conjuntos de funções formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos verificar o Wronskiano de cada par de funções. Um conjunto é linearmente independente se o Wronskiano for diferente de zero.

Vamos analisar cada caso:

I) $ y_1(x) = x^3 $ e $ y_2(x) = x^4 $

O Wronskiano é:
$$
W(y_1, y_2) = 
\begin{vmatrix}
x^3 & x^4 \
3x^2 & 4x^3 
\end{vmatrix}
= x^3 \cdot 4x^3 - x^4 \cdot 3x^2 = 4x^6 - 3x^6 = x^6
$$

No intervalo $ (0, +\infty) $, o Wronskiano não é zero, então são linearmente independentes.

II) $ y_1(x) = 0 $, $ y_2(x) = x $, $ y_3(x) = e^x $

O Wronskiano é:
$$
W(y_1, y_2, y_3) = 
\begin{vmatrix}
0 & x & e^x \
0 & 1 & e^x \
0 & 0 & e^x 
\end{vmatrix}
= 0
$$

As funções são linearmente dependentes.

III) $ y_1(x) = e^{-3x} $ e $ y_2(x) = e^{4x} $

O Wronskiano é:
$$
W(y_1, y_2) = 
\begin{vmatrix}
e^{-3x} & e^{4x} \
-3e^{-3x} & 4e^{4x} 
\end{vmatrix}
= e^{-3x} \cdot 4e^{4x} + 3e^{-3x} \cdot e^{4x} = 7e^{x}
$$

No intervalo $ (-\infty, +\infty) $, o Wronskiano não é zero, então são linearmente independentes.

IV) $ y(x) = 1 + x\cos(x) - \cos(x) + x\sin(x) $

Como é apenas uma função, não podemos calcular o Wronskiano para verificar independência linear.

Portanto, as afirmações verdadeiras são I e III.

**Resposta: C**

I e III são verdadeiras porque seus Wronskianos são diferentes de zero nos intervalos especificados.

Questão 8 Um conjunto de funções é linearmente independente ...

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