Questão de Prova sobre Espaços Vetoriais
Questão:
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais. Sejam U e W subespaços de V. Mostre que a interseção U ∩ W também é um subespaço de V.
Para responder a essa questão, o aluno deverá:
- Compreender a definição de subespaço: Um subconjunto U de um espaço vetorial V é um subespaço se ele for fechado para as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar.
- Demonstrar que a interseção satisfaz as propriedades de subespaço: O aluno deve mostrar que se u e v são elementos de U ∩ W, então:
- u + v também pertence a U ∩ W.
- αu também pertence a U ∩ W, para qualquer escalar α.
Dica para o professor:
- Nível de dificuldade: Essa questão é considerada de nível médio, pois exige que o aluno domine os conceitos básicos de espaço vetorial e subespaço, além de ter habilidade para realizar demonstrações.
- Variações: É possível adaptar a questão para diferentes níveis de complexidade, por exemplo:
- Pedir para o aluno dar um exemplo concreto de dois subespaços de R³ e encontrar a sua interseção.
- Perguntar se a união de dois subespaços é sempre um subespaço.
- Explorar o conceito de soma de subespaços.
Outras possíveis questões:
- Base e dimensão:
- Seja B = {(1, 2, 3), (2, 1, 1), (3, 1, 2)} um subconjunto de R³. B é uma base de R³? Justifique sua resposta.
- Qual a dimensão do subespaço solução do sistema linear Ax = 0, onde A é uma matriz m x n?
- Transformações lineares:
- Seja T: R² → R³ uma transformação linear definida por T(x, y) = (x + y, 2x - y, x). Determine a imagem e o núcleo de T.
- Autovalores e autovetores:
- Encontre os autovalores e autovetores da matriz A = [[1, 2], [2, 1]].
- Produto interno:
- Seja V um espaço vetorial com produto interno. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
