raiz quadrada de 20 é racional ou irracional?

Question

Accepted Answer

A raiz quadrada de 20 é irracional. Para entender isso, vamos considerar o que significa ser um número racional ou irracional.

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a fração $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são inteiros, e $b$ não é zero. Isso inclui todos os inteiros, frações, e números decimais finitos ou periódicos.

Um número irracional, por outro lado, é um número que não pode ser expresso como uma fração simples de dois inteiros. Os números irracionais têm uma expansão decimal infinita não periódica.

Para ver se a $\sqrt{20}$ é racional ou irracional, podemos simplificar essa expressão primeiro:

$$
\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
$$

Sabemos que $\sqrt{5}$ é irracional porque não existe um par de inteiros $a$ e $b$ tal que $(\frac{a}{b})^2 = 5$. Isso é porque 5 não é um quadrado perfeito de um número inteiro. Portanto, qualquer número que seja um múltiplo de $\sqrt{5}$, como é o caso de $2\sqrt{5}$, também é irracional.

Concluímos que a raiz quadrada de 20 é um número irracional.