Resolução com explicação e cálculo

3. use o Teorema do Confronto para mostrar que
[a] $ \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \cos (20 \pi \cdot x)=0 $
[b] $ \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)=0 $
[c] $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \cdot e^{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)}=0 $
$ [d] \lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cdot \cos \left(\frac{2}{x}\right)=0 $
4. Existe um valor para a tal que

Question

Resolução com explicação e cálculo

3. use o Teorema do Confronto para mostrar que
[a] $ \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \cos (20 \pi \cdot x)=0 $
[b] $ \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)=0 $
[c] $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \cdot e^{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)}=0 $
$ [d] \lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cdot \cos \left(\frac{2}{x}\right)=0 $
4. Existe um valor para a tal que

Accepted Answer

Vamos resolver os limites usando o Teorema do Confronto.

### [a] $ \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \cos (20 \pi \cdot x)=0 $

Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas funções que "confinem" a função $ x^2 \cdot \cos(20\pi x) $.

Sabemos que:
$$ -1 \leq \cos(20\pi x) \leq 1 $$

Multiplicando todos os termos por $ x^2 $:
$$ -x^2 \leq x^2 \cdot \cos(20\pi x) \leq x^2 $$

Agora, aplicamos o limite nas funções de confinação:
$$ \lim_{x \to 0} -x^2 = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$

Pelo Teorema do Confronto:
$$ \lim_{x \to 0} x^2 \cdot \cos(20\pi x) = 0 $$

### [b] $ \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)=0 $

Sabemos que:
$$ -1 \leq \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1 $$

Multiplicando todos os termos por $ \sqrt{x^3 + x^2} $:
$$ -\sqrt{x^3 + x^2} \leq \sqrt{x^3 + x^2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \sqrt{x^3 + x^2} $$

Agora, aplicamos o limite nas funções de confinação:
$$ \lim_{x \to 0} -\sqrt{x^3 + x^2} = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} \sqrt{x^3 + x^2} = 0 $$

Pelo Teorema do Confronto:
$$ \lim_{x \to 0} \sqrt{x^3 + x^2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) = 0 $$

### [c] $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \cdot e^{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)}=0 $

Sabemos que:
$$ -1 \leq \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1 $$

Assim, temos:
$$ e^{-1} \leq e^{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)} \leq e^{1} $$

Multiplicando todos os termos por $ \sqrt{x} $:
$$ \sqrt{x} \cdot e^{-1} \leq \sqrt{x} \cdot e^{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)} \leq \sqrt{x} \cdot e^{1} $$

Agora, aplicamos o limite nas funções de confinação:
$$ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \cdot e^{-1} = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \cdot e^{1} = 0 $$

Pelo Teorema do Confronto:
$$ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \cdot e^{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)} = 0 $$

### [d] $ \lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cdot \cos \left(\frac{2}{x}\right)=0 $

Sabemos que:
$$ -1 \leq \cos\left(\frac{2}{x}\right) \leq 1 $$

Multiplicando todos os termos por $ x^4 $:
$$ -x^4 \leq x^4 \cdot \cos\left(\frac{2}{x}\right) \leq x^4 $$

Agora, aplicamos o limite nas funções de confinação:
$$ \lim_{x \to 0} -x^4 = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} x^4 = 0 $$

Pelo Teorema do Confronto:
$$ \lim_{x \to 0} x^4 \cdot \cos\left(\frac{2}{x}\right) = 0 $$

Resolução com explicação e cálculo 3. use o Teorema do Con...

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