Resolução três números positivos formam uma progressão aritmética crescente a sua soma é 15 e a soma de seu quadrado e 107 o primeiro desses números é

Q: Resolução três números positivos formam uma progressão aritmética crescente a sua soma é 15 e a soma de seu quadrado e 107 o primeiro desses números é

Vamos resolver o problema passo a passo. Seja $ a $ o primeiro número da progressão aritmética (PA), $ a + d $ o segundo número e $ a + 2d $ o terceiro número, onde $ d $ é a razão da PA. 1. A soma dos três números é 15: \[ a + (a + d) + (a + 2d) = 15 \] \[ 3a + 3d = 15 \] \[ a + d = 5 \quad \text{(dividindo ambos os lados por 3)} \] 2. A soma dos quadrados dos três números é 107: \[ a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 107 \] Expandindo os quadrados: \[ a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 107 \] Simplificando: \[ a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 = 107 \] \[ 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 107 \] 3. Usando a relação $ a + d = 5 $, podemos expressar $ d $ em termos de $ a $: \[ d = 5 - a \] Substituímos $ d = 5 - a $ na equação $ 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 107 $: \[ 3a^2 + 6a(5 - a) + 5(5 - a)^2 = 107 \] Expandindo e simplificando: \[ 3a^2 + 30a - 6a^2 + 125 - 50a + 5a^2 = 107 \] \[ 2a^2 - 20a + 125 = 107 \] \[ 2a^2 - 20a + 18 = 0 \] Dividindo tudo por 2: \[ a^2 - 10a + 9 = 0 \] 4. Resolvendo a equação quadrática: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde $ a = 1 $, $ b = -10 $ e $ c = 9 $: \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm 8}{2} \] \[ a = 9 \quad \text{ou} \quad a = 1 \] Como estamos buscando números positivos e crescentes, vamos verificar as duas soluções possíveis: - Se $ a = 9 $: \[ d = 5 - 9 = -4 \quad \text{(não faz sentido para uma PA crescente)} \] - Se $ a = 1 $: \[ d = 5 - 1 = 4 \] Portanto, os números são $ 1 $, $ 5 $, e $ 9 $, que formam uma PA crescente. Assim, o primeiro número é: \textbf{Resposta: 1}

Question

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

Seja $ a $ o primeiro número da progressão aritmética (PA), $ a + d $ o segundo número e $ a + 2d $ o terceiro número, onde $ d $ é a razão da PA.

1. A soma dos três números é 15:
$$
a + (a + d) + (a + 2d) = 15
$$
$$
3a + 3d = 15
$$
$$
a + d = 5 \quad \text{(dividindo ambos os lados por 3)}
$$

2. A soma dos quadrados dos três números é 107:
$$
a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 107
$$
Expandindo os quadrados:
$$
a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) = 107
$$
Simplificando:
$$
a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 = 107
$$
$$
3a^2 + 6ad + 5d^2 = 107
$$

3. Usando a relação $ a + d = 5 $, podemos expressar $ d $ em termos de $ a $:
$$
d = 5 - a
$$

Substituímos $ d = 5 - a $ na equação $ 3a^2 + 6ad + 5d^2 = 107 $:
$$
3a^2 + 6a(5 - a) + 5(5 - a)^2 = 107
$$
Expandindo e simplificando:
$$
3a^2 + 30a - 6a^2 + 125 - 50a + 5a^2 = 107
$$
$$
2a^2 - 20a + 125 = 107
$$
$$
2a^2 - 20a + 18 = 0
$$
Dividindo tudo por 2:
$$
a^2 - 10a + 9 = 0
$$

4. Resolvendo a equação quadrática:
$$
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
onde $ a = 1 $, $ b = -10 $ e $ c = 9 $:
$$
a = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}
$$
$$
a = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}
$$
$$
a = \frac{10 \pm 8}{2}
$$
$$
a = 9 \quad \text{ou} \quad a = 1
$$

Como estamos buscando números positivos e crescentes, vamos verificar as duas soluções possíveis:

- Se $ a = 9 $:
$$
d = 5 - 9 = -4 \quad \text{(não faz sentido para uma PA crescente)}
$$

- Se $ a = 1 $:
$$
d = 5 - 1 = 4
$$

Portanto, os números são $ 1 $, $ 5 $, e $ 9 $, que formam uma PA crescente.

Assim, o primeiro número é:

\textbf{Resposta: 1}

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Resolução três números positivos formam uma progressão aritmética crescente a sua soma é 15 e a soma de seu quadrado e 107 o primeiro desses números é

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