Resolva o determinante por escalonamento (3, 4, 1, -5, -2, -9, 7, 8, 6)

Question

Accepted Answer

Para resolver o determinante da matriz
$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
-5 & -2 & -9 \
7 & 8 & 6
\end{pmatrix}
$$
por escalonamento, podemos usar operações elementares nas linhas para transformar a matriz em uma matriz triangular superior (ou inferior). O determinante da matriz original será igual ao determinante da matriz triangular resultante, que é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 1: Escolher um pivô na primeira coluna. O primeiro elemento (3) já pode ser usado como pivô.

Passo 2: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.

*   Para eliminar o -5 na segunda linha, podemos realizar a operação $L_2 \rightarrow L_2 + \frac{5}{3}L_1$.
*   Para eliminar o 7 na terceira linha, podemos realizar a operação $L_3 \rightarrow L_3 - \frac{7}{3}L_1$.

Realizando essas operações:

$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
-5 + \frac{5}{3}(3) & -2 + \frac{5}{3}(4) & -9 + \frac{5}{3}(1) \
7 - \frac{7}{3}(3) & 8 - \frac{7}{3}(4) & 6 - \frac{7}{3}(1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & -2 + \frac{20}{3} & -9 + \frac{5}{3} \
0 & 8 - \frac{28}{3} & 6 - \frac{7}{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & -\frac{4}{3} & \frac{11}{3}
\end{pmatrix}
$$

Passo 3: Escolher um novo pivô na segunda coluna (excluindo a primeira linha). O elemento $\frac{14}{3}$ pode ser usado como pivô.

Passo 4: Eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna.

*   Para eliminar o $-\frac{4}{3}$ na terceira linha, podemos realizar a operação $L_3 \rightarrow L_3 + \frac{4/3}{14/3}L_2 = L_3 + \frac{2}{7}L_2$.

Realizando essa operação:

$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & -\frac{4}{3} + \frac{2}{7}(\frac{14}{3}) & \frac{11}{3} + \frac{2}{7}(-\frac{22}{3})
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & 0 & \frac{11}{3} - \frac{44}{21}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & 0 & \frac{77 - 44}{21}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & 0 & \frac{33}{21}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 \
0 & \frac{14}{3} & -\frac{22}{3} \
0 & 0 & \frac{11}{7}
\end{pmatrix}
$$

Passo 5: Calcular o determinante da matriz triangular superior.

O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

$$
\det = 3 \cdot \frac{14}{3} \cdot \frac{11}{7} = 14 \cdot \frac{11}{7} = 2 \cdot 11 = 22
$$

Portanto, o determinante da matriz original é 22.