Resolver passo a passo a integral de secante ao cubo de x dx

Q: Resolver passo a passo a integral de secante ao cubo de x dx

Para resolver a integral de $\int \sec^3(x) \, dx$, podemos usar um método de integração por partes. Vamos seguir o passo a passo: 1. **Escolha das funções para integração por partes:** A fórmula para integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher $ u = \sec(x) $ e $ dv = \sec^2(x) \, dx $. 2. **Diferenciação e integração:** Diferenciando $ u $: \[ du = \sec(x) \tan(x) \, dx \] Integrando $ dv $: \[ v = \tan(x) \] 3. **Aplicação da integração por partes:** Substituindo na fórmula de integração por partes: \[ \int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) - \int \tan(x) \cdot \sec(x) \tan(x) \, dx \] Simplificando a segunda integral: \[ \int \tan(x) \cdot \sec(x) \tan(x) \, dx = \int \sec(x) \tan^2(x) \, dx \] 4. **Uso da identidade trigonométrica:** Sabemos que $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$, então: \[ \int \sec(x) \tan^2(x) \, dx = \int \sec(x) (\sec^2(x) - 1) \, dx \] \[ = \int \sec^3(x) \, dx - \int \sec(x) \, dx \] 5. **Resolvendo a equação:** Temos uma equação para $\int \sec^3(x) \, dx$: \[ \int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) - \left( \int \sec^3(x) \, dx - \int \sec(x) \, dx \right) \] Rearranjando os termos: \[ 2\int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \, dx \] Portanto: \[ \int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \, dx \right) \] 6. **Integral de $\sec(x)$:** A integral de $\sec(x)$ é conhecida: \[ \int \sec(x) \, dx = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C \] 7. **Substituição final:** Substituindo na expressão anterior: \[ \int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \sec(x) \tan(x) + \ln |\sec(x) + \tan(x)| \right) + C \] E assim, temos a solução para a integral de $\sec^3(x) \, dx$.

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral de $\int \sec^3(x) \, dx$, podemos usar um método de integração por partes. Vamos seguir o passo a passo:

1. **Escolha das funções para integração por partes:**

A fórmula para integração por partes é:
   $$
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   $$

Vamos escolher $ u = \sec(x) $ e $ dv = \sec^2(x) \, dx $.

2. **Diferenciação e integração:**

Diferenciando $ u $:
   $$
   du = \sec(x) \tan(x) \, dx
   $$

Integrando $ dv $:
   $$
   v = \tan(x)
   $$

3. **Aplicação da integração por partes:**

Substituindo na fórmula de integração por partes:
   $$
   \int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) - \int \tan(x) \cdot \sec(x) \tan(x) \, dx
   $$

Simplificando a segunda integral:
   $$
   \int \tan(x) \cdot \sec(x) \tan(x) \, dx = \int \sec(x) \tan^2(x) \, dx
   $$

4. **Uso da identidade trigonométrica:**

Sabemos que $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$, então:
   $$
   \int \sec(x) \tan^2(x) \, dx = \int \sec(x) (\sec^2(x) - 1) \, dx
   $$
   $$
   = \int \sec^3(x) \, dx - \int \sec(x) \, dx
   $$

5. **Resolvendo a equação:**

Temos uma equação para $\int \sec^3(x) \, dx$:
   $$
   \int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) - \left( \int \sec^3(x) \, dx - \int \sec(x) \, dx \right)
   $$

Rearranjando os termos:
   $$
   2\int \sec^3(x) \, dx = \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \, dx
   $$

Portanto:
   $$
   \int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \sec(x) \tan(x) + \int \sec(x) \, dx \right)
   $$

6. **Integral de $\sec(x)$:**

A integral de $\sec(x)$ é conhecida:
   $$
   \int \sec(x) \, dx = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C
   $$

7. **Substituição final:**

Substituindo na expressão anterior:
   $$
   \int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \sec(x) \tan(x) + \ln |\sec(x) + \tan(x)| \right) + C
   $$

E assim, temos a solução para a integral de $\sec^3(x) \, dx$.