Responda essa permutação usando a fórmula e explique como fez para eu entender:

Em uma sala há 8 professores de matemática, 10 de português e 4 de Biologia. Queremos formar grupos de dois professores de cada matéria. De quantas maneiras distintas podemos organizar esses grupos?
Resposta: 152 maneiras

Question

Responda essa permutação usando a fórmula e explique como fez para eu entender:

Em uma sala há 8 professores de matemática, 10 de português e 4 de Biologia. Queremos formar grupos de dois professores de cada matéria. De quantas maneiras distintas podemos organizar esses grupos?
Resposta: 152 maneiras

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender que estamos lidando com a formação de grupos específicos de professores de diferentes matérias. Vamos usar a fórmula de combinação para calcular as maneiras distintas de escolher os professores.

A fórmula de combinação é dada por:

$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$

onde $ n $ é o número total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.

Vamos calcular as combinações para cada grupo de professores separadamente.

### 1. Professores de Matemática
Temos 8 professores de matemática e queremos formar grupos de 2:
$$ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} $$
Simplificando:
$$ C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 $$

### 2. Professores de Português
Temos 10 professores de português e queremos formar grupos de 2:
$$ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} $$
Simplificando:
$$ C(10, 2) = \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 $$

### 3. Professores de Biologia
Temos 4 professores de biologia e queremos formar grupos de 2:
$$ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} $$
Simplificando:
$$ C(4, 2) = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 $$

### Total de Combinações
Agora, para encontrar o número total de maneiras distintas de organizar esses grupos, multiplicamos as combinações encontradas para cada matéria:
$$ \text{Total} = C(8, 2) \times C(10, 2) \times C(4, 2) $$
$$ \text{Total} = 28 \times 45 \times 6 $$

Calculando:
$$ 28 \times 45 = 1260 $$
$$ 1260 \times 6 = 7560 $$

Portanto, há $ 7560 $ maneiras distintas de formar esses grupos de professores. Parece que houve um erro na resposta fornecida (152 maneiras). A correta é $ 7560 $ maneiras.

Responda essa permutação usando a fórmula e explique como fe...

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