Sabe-se que o volume do tetraedro é 1/6 do volume do paralelepipedo
circunscrito. Dados os pontos A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2), encontre o
volume do tetraedro por eles determinado.
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Question

Accepted Answer

Aqui está a solução passo a passo para encontrar o volume do tetraedro definido pelos pontos A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2):

1. **Definir os vetores:**
   Primeiro, precisamos definir três vetores que emanam de um ponto comum (digamos, o ponto A) para os outros três pontos (B, C e D).

$\vec{AB} = B - A = (2-1, 0-1, 3-1) = (1, -1, 2)$
   $\vec{AC} = C - A = (4-1, 1-1, 7-1) = (3, 0, 6)$
   $\vec{AD} = D - A = (3-1, -1-1, -2-1) = (2, -2, -3)$

2. **Calcular o produto misto (produto escalar triplo):**
   O volume do paralelepípedo formado por esses três vetores é dado pelo valor absoluto do produto misto (produto escalar triplo) dos vetores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ e $\vec{AD}$. O produto misto é calculado como o determinante da matriz formada pelos vetores:

$V_{paralelepipedo} = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} 	imes \vec{AD})| = \left| \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \ 3 & 0 & 6 \ 2 & -2 & -3 \end{vmatrix} ight|$

Calculando o determinante:
   $1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 \ -2 & -3 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \ 2 & -3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 2 & -2 \end{vmatrix}$
   $= 1 \cdot (0 \cdot (-3) - 6 \cdot (-2)) + 1 \cdot (3 \cdot (-3) - 6 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot (-2) - 0 \cdot 2)$
   $= 1 \cdot (0 + 12) + 1 \cdot (-9 - 12) + 2 \cdot (-6 - 0)$
   $= 12 - 21 - 12$
   $= -21$

Portanto, o volume do paralelepípedo é $|-21| = 21$.

3. **Calcular o volume do tetraedro:**
   O volume do tetraedro é 1/6 do volume do paralelepípedo:

$V_{tetraedro} = \frac{1}{6} \cdot V_{paralelepipedo} = \frac{1}{6} \cdot 21 = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

Assim, o volume do tetraedro é 3.5 unidades de volume.

**Resposta:**
O volume do tetraedro é 3.5.

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Em LaTeX:
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1.  **Definir os vetores:**
   $\vec{AB} = B - A = (2-1, 0-1, 3-1) = (1, -1, 2)$
   $\vec{AC} = C - A = (4-1, 1-1, 7-1) = (3, 0, 6)$
   $\vec{AD} = D - A = (3-1, -1-1, -2-1) = (2, -2, -3)$

2.  **Calcular o produto misto (produto escalar triplo):**
   $V_{paralelepipedo} = |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} 	imes \vec{AD})| = \left| \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \ 3 & 0 & 6 \ 2 & -2 & -3 \end{vmatrix} ight|$

Calculando o determinante:
   $1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 \ -2 & -3 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \ 2 & -3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \ 2 & -2 \end{vmatrix}$
   $= 1 \cdot (0 \cdot (-3) - 6 \cdot (-2)) + 1 \cdot (3 \cdot (-3) - 6 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot (-2) - 0 \cdot 2)$
   $= 1 \cdot (0 + 12) + 1 \cdot (-9 - 12) + 2 \cdot (-6 - 0)$
   $= 12 - 21 - 12$
   $= -21$

Portanto, o volume do paralelepípedo é $|-21| = 21$.

3.  **Calcular o volume do tetraedro:**
   $V_{tetraedro} = \frac{1}{6} \cdot V_{paralelepipedo} = \frac{1}{6} \cdot 21 = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

Sabe-se que o volume do tetraedro é 1/6 do volume do paralelepipedo circunscrito. Dados os pontos A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2), encontre o volume do tetraedro por eles determinado. 1