Sabemos que a secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado de altura 2r (secção meridiana corte no centro do cilindro). Em um cilindro equilátero, a área da secção meridiana mede 144 m².

Determine a área total do cilindro.

Question

Sabemos que a secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado de altura 2r (secção meridiana corte no centro do cilindro). Em um cilindro equilátero, a área da secção meridiana mede 144 m².

Determine a área total do cilindro.

Determine a área total do cilindro.

Accepted Answer

Para determinar a área total do cilindro equilátero, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Encontrar o valor do raio $ r $**:
   Sabemos que a secção meridiana é um quadrado com altura $ 2r $ e que a área da secção meridiana é 144 m².

A área de um quadrado é dada por:
   $$
   (2r)^2 = 144
   $$

Resolvendo para $ r $:
   $$
   4r^2 = 144 \
   r^2 = \frac{144}{4} \
   r^2 = 36 \
   r = \sqrt{36} \
   r = 6 \, \text{m}
   $$

2. **Calcular a área da base do cilindro**:
   A base do cilindro é um círculo com raio $ r $. A área da base é dada por:
   $$
   A_{\text{base}} = \pi r^2
   $$

Substituindo $ r = 6 $:
   $$
   A_{\text{base}} = \pi (6)^2 \
   A_{\text{base}} = 36\pi \, \text{m}^2
   $$

3. **Calcular a área lateral do cilindro**:
   A área lateral de um cilindro é dada por:
   $$
   A_{\text{lateral}} = 2\pi r h
   $$

Em um cilindro equilátero, a altura $ h $ é igual a $ 2r $. Portanto:
   $$
   h = 2r = 2 \times 6 = 12 \, \text{m}
   $$

Substituindo os valores de $ r $ e $ h $:
   $$
   A_{\text{lateral}} = 2\pi (6) (12) \
   A_{\text{lateral}} = 144\pi \, \text{m}^2
   $$

4. **Calcular a área total do cilindro**:
   A área total do cilindro é a soma das áreas das duas bases e da área lateral:
   $$
   A_{\text{total}} = 2 \times A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}}
   $$

Substituindo os valores encontrados:
   $$
   A_{\text{total}} = 2 \times 36\pi + 144\pi \
   A_{\text{total}} = 72\pi + 144\pi \
   A_{\text{total}} = 216\pi \, \text{m}^2
   $$

Portanto, a área total do cilindro é:
$$
216\pi \, \text{m}^2
$$

Sabemos que a secção meridiana de um cilindro equilátero é u...