Sabendo que existe um espaçamento de 0,508 mm quando a temperatura é de 23,9°C, determine (a) a temperatura na qual a tensão normal na barra de alumínio será igual a -75,8 MPa e (b) o comprimento exato correspondente da barra de alumínio.

0,508 mm

Bronze:
A = 1,548 mm²
E = 103,4 GPa
α = 21,6 × 10⁻⁶ /°C

Alumínio:
A = 0,806 mm²
E = 69,3 GPa
α = 23,2 × 10⁻⁶ /°C

Question

Sabendo que existe um espaçamento de 0,508 mm quando a temperatura é de 23,9°C, determine (a) a temperatura na qual a tensão normal na barra de alumínio será igual a -75,8 MPa e (b) o comprimento exato correspondente da barra de alumínio.

0,508 mm

Bronze:
A = 1,548 mm²
E = 103,4 GPa
α = 21,6 × 10⁻⁶ /°C

Alumínio:
A = 0,806 mm²
E = 69,3 GPa
α = 23,2 × 10⁻⁶ /°C

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos usar a fórmula da dilatação térmica linear e a relação de tensão. Vamos seguir os passos:

### Dados:
- Comprimento inicial do alumínio ($L_0$): 457,2 mm
- Espaçamento ($\Delta L$): 0,508 mm
- Temperatura inicial ($T_0$): 23,9°C
- Tensão normal no alumínio: -75,8 MPa
- Módulo de elasticidade do alumínio ($E$): 70,3 GPa
- Coeficiente de dilatação térmica do alumínio ($\alpha$): $23,2 \times 10^{-6} \, ^\circ C^{-1}$

### (a) Determinar a temperatura final ($T_f$)
A relação entre tensão ($\sigma$), módulo de elasticidade ($E$), e deformação ($\epsilon$) é dada por:
$$
\sigma = E \cdot \epsilon
$$

A deformação total ($\epsilon$) é a soma da deformação térmica ($\epsilon_t$) e a deformação devido à tensão ($\epsilon_\sigma$):
$$
\epsilon = \epsilon_t + \epsilon_\sigma
$$

Deformação térmica:
$$
\epsilon_t = \alpha \cdot (T_f - T_0)
$$

Deformação devido à tensão:
$$
\epsilon_\sigma = \frac{\sigma}{E}
$$

Substituindo na equação da deformação total:
$$
\alpha \cdot (T_f - T_0) + \frac{\sigma}{E} = \frac{\Delta L}{L_0}
$$

Substituindo os valores:
$$
23,2 \times 10^{-6} \cdot (T_f - 23,9) + \frac{-75,8 \times 10^6}{70,3 \times 10^9} = \frac{0,508}{457,2}
$$

Resolvendo para $T_f$:
1. Calcular $\frac{\sigma}{E}$:
   $$
   \frac{-75,8 \times 10^6}{70,3 \times 10^9} = -0,001078
   $$

2. Calcular $\frac{\Delta L}{L_0}$:
   $$
   \frac{0,508}{457,2} = 0,001111
   $$

3. Substituir e resolver:
   $$
   23,2 \times 10^{-6} \cdot (T_f - 23,9) - 0,001078 = 0,001111
   $$
   $$
   23,2 \times 10^{-6} \cdot (T_f - 23,9) = 0,002189
   $$
   $$
   T_f - 23,9 = \frac{0,002189}{23,2 \times 10^{-6}}
   $$
   $$
   T_f - 23,9 = 94,35
   $$
   $$
   T_f = 118,25 \, ^\circ C
   $$

### (b) Comprimento exato da barra de alumínio
O comprimento exato é dado por:
$$
L_f = L_0 + \Delta L
$$
$$
L_f = 457,2 + 0,508 = 457,708 \, \text{mm}
$$

Portanto, a temperatura final é aproximadamente $93,78 \, ^\circ C$ e o comprimento exato é aproximadamente $457,5 \, \text{mm}$.