Sabendo que log de 3 na base 30 = a e log de 5 na base 30 = b, calcule log de 2 na base 10

Question

Accepted Answer

Para calcular o logaritmo de 2 na base 10 usando as informações dadas, podemos usar a relação entre os logaritmos em diferentes bases e a decomposição do número 30. Sabemos que:

$$ \log_{30}(3) = a $$
$$ \log_{30}(5) = b $$

Podemos expressar o número 30 como $ 30 = 2 \times 3 \times 5 $. Assim, o logaritmo de 30 na base 10 pode ser escrito como:

$$ \log_{10}(30) = \log_{10}(2) + \log_{10}(3) + \log_{10}(5) $$

Queremos encontrar $\log_{10}(2)$, então podemos rearranjar a equação acima para isolá-lo:

$$ \log_{10}(2) = \log_{10}(30) - \log_{10}(3) - \log_{10}(5) $$

Usando a mudança de base, podemos expressar $\log_{10}(3)$ e $\log_{10}(5)$ em termos de $a$ e $b$:

$$ \log_{10}(3) = \frac{\log_{30}(3)}{\log_{30}(10)} = \frac{a}{\log_{30}(10)} $$
$$ \log_{10}(5) = \frac{\log_{30}(5)}{\log_{30}(10)} = \frac{b}{\log_{30}(10)} $$

Agora, precisamos encontrar $\log_{30}(10)$. Como $10 = 2 \times 5$, temos:

$$ \log_{30}(10) = \log_{30}(2) + \log_{30}(5) $$

No entanto, não temos $\log_{30}(2)$, mas sabemos que:

$$ \log_{30}(10) = \frac{1}{\log_{10}(30)} $$

Portanto, substituímos isso na expressão de $\log_{10}(2)$:

$$ \log_{10}(2) = \log_{10}(30) - \frac{a}{\log_{30}(10)} - \frac{b}{\log_{30}(10)} $$

Como $\log_{30}(10) = \frac{1}{\log_{10}(30)}$, podemos simplificar:

$$ \log_{10}(2) = \log_{10}(30) - \left(a + b\right) \cdot \log_{10}(30) $$

Assim, finalmente temos:

$$ \log_{10}(2) = (1 - a - b) \cdot \log_{10}(30) $$

Sem um valor numérico específico para $\log_{10}(30)$, não podemos calcular um valor exato para $\log_{10}(2)$, mas esta é a expressão geral em termos de $a$ e $b$.

Sabendo que log de 3 na base 30 = a e log de 5 na base 30 = ...

Sabendo que log de 3 na base 30 = a e log de 5 na base 30 = b, calcule log de 2 na base 10

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