Sabendo que log2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule o valor do log raiz de 18 base 5

Question

Accepted Answer

Para calcular o valor de $\log_5 \sqrt{18}$, podemos utilizar as propriedades dos logaritmos e as informações fornecidas ($\log 2 = 0,30$ e $\log 3 = 0,48$). Seguindo os passos:

### Passo 1: Expressar $\sqrt{18}$ em sua forma simplificada
Primeiro, vamos simplificar $\sqrt{18}$. Sabemos que $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$, então:
$$
\sqrt{18} = \sqrt{2 \times 3^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{3^2} = \sqrt{2} \times 3
$$

### Passo 2: Escrever o logaritmo na base desejada
Agora, queremos calcular $\log_5 (\sqrt{2} \times 3)$. Usando a propriedade do logaritmo de um produto, temos:
$$
\log_5 (\sqrt{2} \times 3) = \log_5 (\sqrt{2}) + \log_5 (3)
$$

### Passo 3: Converter os logaritmos para uma base conhecida
Para usar os valores de $\log 2$ e $\log 3$ fornecidos, precisamos converter os logaritmos para a base 10. Usamos a fórmula de mudança de base:
$$
\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}
$$
onde $b$ é a nova base, $k$ é a base antiga (neste caso, 10), e $a$ é o argumento do logaritmo.

Assim, podemos escrever:
$$
\log_5 (\sqrt{2}) + \log_5 (3) = \frac{\log (\sqrt{2})}{\log (5)} + \frac{\log (3)}{\log (5)}
$$

### Passo 4: Aplicar as propriedades dos logaritmos e os valores conhecidos
1. $\log (\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \log (2)$, pois $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
2. Utilizamos os valores conhecidos de $\log 2$ e $\log 3$.

Substituindo os valores, temos:
$$
\frac{\frac{1}{2} \cdot 0,30}{\log (5)} + \frac{0,48}{\log (5)}
$$

Como não temos o valor de $\log (5)$ diretamente, vamos focar em simplificar a expressão até onde podemos sem ele. A expressão simplificada fica:
$$
\frac{0,15 + 0,48}{\log (5)}
$$
$$
\frac{0,63}{\log (5)}
$$

### Conclusão
Chegamos a uma expressão para $\log_5 \sqrt{18}$ que depende do valor de $\log (5)$, que não foi fornecido. Sem esse valor, não podemos prosseguir para um resultado numérico final. Se o valor de $\log 5$ fosse conhecido, poderíamos substituí-lo na expressão acima para obter o resultado final.

Sabendo que log2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule o valor do l...

Sabendo que log2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule o valor do log raiz de 18 base 5

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