Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas
horizontais:
a) quantas são as possibilidades de pintá-la
com quatro cores distintas, escolhendo
entre: vermelho, laranja, amarelo, verde,
azul, roxo e marrom?
b) quantas bandeiras podemos pintar se,
além da condição do item a, a cor amarela
estiver sempre presente?

Question

Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas 
horizontais:
a) quantas são as possibilidades de pintá-la 
com quatro cores distintas, escolhendo 
entre: vermelho, laranja, amarelo, verde, 
azul, roxo e marrom?
b) quantas bandeiras podemos pintar se, 
além da condição do item a, a cor amarela 
estiver sempre presente?

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

### Item (a)
Primeiro, vamos calcular o número de possibilidades de pintar a bandeira com quatro cores distintas escolhendo entre as sete cores disponíveis: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, roxo e marrom.

1. Escolha das cores:
   - Temos 7 cores disponíveis e precisamos escolher 4 delas.
   - O número de maneiras de escolher 4 cores dentre 7 é dado pelo coeficiente binomial $ \binom{7}{4} $.

$$ \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35 $$

2. Arranjo das cores:
   - Após escolher as 4 cores, precisamos arranjá-las nas 4 faixas horizontais.
   - O número de maneiras de arranjar 4 cores distintas em 4 faixas é dado por $ 4! $.

$$ 4! = 24 $$

3. Número total de possibilidades:
   - Multiplicamos o número de maneiras de escolher as cores pelo número de maneiras de arranjá-las.

$$ \text{Total} = \binom{7}{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840 $$

### Item (b)
Agora, vamos calcular o número de possibilidades de pintar a bandeira com quatro cores distintas, incluindo obrigatoriamente a cor amarela.

1. Escolha das cores:
   - Como a cor amarela deve estar presente, escolhemos 3 cores dentre as 6 restantes (vermelho, laranja, verde, azul, roxo e marrom).
   - O número de maneiras de escolher 3 cores dentre 6 é dado pelo coeficiente binomial $ \binom{6}{3} $.

$$ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20 $$

2. Arranjo das cores:
   - Após escolher as 4 cores (amarelo + 3 outras), precisamos arranjá-las nas 4 faixas horizontais.
   - O número de maneiras de arranjar 4 cores distintas em 4 faixas é dado por $ 4! $.

$$ 4! = 24 $$

3. Número total de possibilidades:
   - Multiplicamos o número de maneiras de escolher as cores pelo número de maneiras de arranjá-las.

$$ \text{Total} = \binom{6}{3} \times 4! = 20 \times 24 = 480 $$

Portanto:
- **Item (a):** Existem 840 possibilidades de pintar a bandeira com quatro cores distintas escolhendo entre as sete cores disponíveis.
- **Item (b):** Existem 480 possibilidades de pintar a bandeira com quatro cores distintas, incluindo obrigatoriamente a cor amarela.

Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas horizontais: a...

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