Se $ \sec x=\frac{25}{24} $ e $ \frac{3 \pi}{2}

Q: Se $ \sec x=\frac{25}{24} $ e $ \frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi ; $ calcule $ \operatorname{tg}(2 x) $

Para calcular $ \operatorname{tg}(2x) $ quando sabemos que $ \sec x = \frac{25}{24} $ e $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $, podemos seguir os seguintes passos: ### Passo 1: Relacionar $\sec x$ com $\cos x$ Sabemos que $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $. Portanto, se $ \sec x = \frac{25}{24} $, então $ \cos x = \frac{24}{25} $. ### Passo 2: Encontrar $\sin x$ Usamos a identidade trigonométrica fundamental $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ para encontrar $ \sin x $. Substituímos $ \cos x = \frac{24}{25} $ na identidade: \[ \sin^2 x + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{576}{625} \] \[ \sin^2 x = \frac{625 - 576}{625} \] \[ \sin^2 x = \frac{49}{625} \] \[ \sin x = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25} \] Considerando o intervalo $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $, onde o seno é negativo, temos $ \sin x = -\frac{7}{25} $. ### Passo 3: Calcular $ \operatorname{tg}(2x) $ Usamos a fórmula da tangente do ângulo duplo: \[ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x} \] Primeiro, encontramos $ \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $: \[ \operatorname{tg}x = \frac{-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = -\frac{7}{24} \] Agora, substituímos $ \operatorname{tg}x $ na fórmula da tangente do ângulo duplo: \[ \operatorname{tg}(2x) = \frac{2(-\frac{7}{24})}{1-(-\frac{7}{24})^2} \] \[ \operatorname{tg}(2x) = \frac{-\frac{14}{24}}{1-\frac{49}{576}} \] \[ \operatorname{tg}(2x) = \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{527}{576}} \] \[ \operatorname{tg}(2x) = -\frac{7}{12} \cdot \frac{576}{527} \] \[ \operatorname{tg}(2x) = -\frac{7 \cdot 576}{12 \cdot 527} \] \[ \operatorname{tg}(2x) = -\frac{48}{527} \] Portanto, $ \operatorname{tg}(2x) = -\frac{48}{527} $.

Question

Se $ \sec x=\frac{25}{24} $ e $ \frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi ; $ calcule $ \operatorname{tg}(2 x) $

Accepted Answer

Para calcular $ \operatorname{tg}(2x) $ quando sabemos que $ \sec x = \frac{25}{24} $ e $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $, podemos seguir os seguintes passos:

### Passo 1: Relacionar $\sec x$ com $\cos x$

Sabemos que $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $. Portanto, se $ \sec x = \frac{25}{24} $, então $ \cos x = \frac{24}{25} $.

### Passo 2: Encontrar $\sin x$

Usamos a identidade trigonométrica fundamental $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ para encontrar $ \sin x $.

Substituímos $ \cos x = \frac{24}{25} $ na identidade:

$$
\sin^2 x + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1
$$

$$
\sin^2 x = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2
$$

$$
\sin^2 x = 1 - \frac{576}{625}
$$

$$
\sin^2 x = \frac{625 - 576}{625}
$$

$$
\sin^2 x = \frac{49}{625}
$$

$$
\sin x = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}
$$

Considerando o intervalo $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $, onde o seno é negativo, temos $ \sin x = -\frac{7}{25} $.

### Passo 3: Calcular $ \operatorname{tg}(2x) $

Usamos a fórmula da tangente do ângulo duplo:

$$
\operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x}
$$

Primeiro, encontramos $ \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$$
\operatorname{tg}x = \frac{-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = -\frac{7}{24}
$$

Agora, substituímos $ \operatorname{tg}x $ na fórmula da tangente do ângulo duplo:

$$
\operatorname{tg}(2x) = \frac{2(-\frac{7}{24})}{1-(-\frac{7}{24})^2}
$$

$$
\operatorname{tg}(2x) = \frac{-\frac{14}{24}}{1-\frac{49}{576}}
$$

$$
\operatorname{tg}(2x) = \frac{-\frac{7}{12}}{\frac{527}{576}}
$$

$$
\operatorname{tg}(2x) = -\frac{7}{12} \cdot \frac{576}{527}
$$

$$
\operatorname{tg}(2x) = -\frac{7 \cdot 576}{12 \cdot 527}
$$

$$
\operatorname{tg}(2x) = -\frac{48}{527}
$$

Portanto, $ \operatorname{tg}(2x) = -\frac{48}{527} $.

Se

Se $\sec x=\frac{25}{24}$ e $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi ;$ calcule $\operatorname{tg}(2 x)$

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Se

Se sec⁡x=2524\sec x=\frac{25}{24}secx=2425​ e 3π2<x<2π;\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi ;23π​<x<2π; calcule tg⁡(2x)\operatorname{tg}(2 x)tg(2x)

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Se $\sec x=\frac{25}{24}$ e $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi ;$ calcule $\operatorname{tg}(2 x)$