Se x e y são reais tais que 3x + 4y = 12, determine o valor mínimo de z= x² + y²
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Elisama
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27/07/24

Q: Se x e y são reais tais que 3x + 4y = 12, determine o valor mínimo de z= x² + y²

Para determinar o valor mínimo de $ z = x^2 + y^2 $ sujeito à restrição $ 3x + 4y = 12 $, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função objetivo: \[ f(x, y) = x^2 + y^2 \] E a restrição: \[ g(x, y) = 3x + 4y - 12 = 0 \] O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que devemos encontrar os pontos críticos da função Lagrangiana: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) \] Portanto, temos: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (3x + 4y - 12) \] Agora, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda \cdot 3 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda \cdot 4 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 3x + 4y - 12 = 0 \] Resolvendo o sistema de equações: 1. $ 2x + 3\lambda = 0 $ 2. $ 2y + 4\lambda = 0 $ 3. $ 3x + 4y = 12 $ Da primeira equação, isolamos $\lambda$: \[ \lambda = -\frac{2x}{3} \] Substituímos na segunda equação: \[ 2y + 4\left(-\frac{2x}{3}\right) = 0 \] \[ 2y - \frac{8x}{3} = 0 \] \[ 6y - 8x = 0 \] \[ 3y - 4x = 0 \] \[ y = \frac{4x}{3} \] Substituímos $ y = \frac{4x}{3} $ na terceira equação: \[ 3x + 4\left(\frac{4x}{3}\right) = 12 \] \[ 3x + \frac{16x}{3} = 12 \] \[ \frac{9x + 16x}{3} = 12 \] \[ \frac{25x}{3} = 12 \] \[ 25x = 36 \] \[ x = \frac{36}{25} \] \[ x = \frac{36}{25} = 1.44 \] Agora substituímos $ x = 1.44 $ em $ y = \frac{4x}{3} $: \[ y = \frac{4 \cdot 1.44}{3} \] \[ y = 1.92 \] Finalmente, calculamos $ z = x^2 + y^2 $: \[ z = (1.44)^2 + (1.92)^2 \] \[ z = 2.0736 + 3.6864 \] \[ z = 5.76 \] Portanto, o valor mínimo de $ z = x^2 + y^2 $ é $ 5.76 $.

Question

Se x e y são reais tais que 3x + 4y = 12, determine o valor mínimo de z= x² + y²

Accepted Answer

Para determinar o valor mínimo de $ z = x^2 + y^2 $ sujeito à restrição $ 3x + 4y = 12 $, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Definimos a função objetivo:
$$ f(x, y) = x^2 + y^2 $$

E a restrição:
$$ g(x, y) = 3x + 4y - 12 = 0 $$

O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que devemos encontrar os pontos críticos da função Lagrangiana:
$$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) $$

Portanto, temos:
$$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (3x + 4y - 12) $$

Agora, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda \cdot 3 = 0 $$
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda \cdot 4 = 0 $$
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 3x + 4y - 12 = 0 $$

Resolvendo o sistema de equações:

1. $ 2x + 3\lambda = 0 $
2. $ 2y + 4\lambda = 0 $
3. $ 3x + 4y = 12 $

Da primeira equação, isolamos $\lambda$:
$$ \lambda = -\frac{2x}{3} $$

Substituímos na segunda equação:
$$ 2y + 4\left(-\frac{2x}{3}\right) = 0 $$
$$ 2y - \frac{8x}{3} = 0 $$
$$ 6y - 8x = 0 $$
$$ 3y - 4x = 0 $$
$$ y = \frac{4x}{3} $$

Substituímos $ y = \frac{4x}{3} $ na terceira equação:
$$ 3x + 4\left(\frac{4x}{3}\right) = 12 $$
$$ 3x + \frac{16x}{3} = 12 $$
$$ \frac{9x + 16x}{3} = 12 $$
$$ \frac{25x}{3} = 12 $$
$$ 25x = 36 $$
$$ x = \frac{36}{25} $$
$$ x = \frac{36}{25} = 1.44 $$

Agora substituímos $ x = 1.44 $ em $ y = \frac{4x}{3} $:
$$ y = \frac{4 \cdot 1.44}{3} $$
$$ y = 1.92 $$

Finalmente, calculamos $ z = x^2 + y^2 $:
$$ z = (1.44)^2 + (1.92)^2 $$
$$ z = 2.0736 + 3.6864 $$
$$ z = 5.76 $$

Portanto, o valor mínimo de $ z = x^2 + y^2 $ é $ 5.76 $.