Seja ABC um triângulo retângulo em B e que AB BC. Dado um ponto P no interior de ABC, prove que PA + PB + PC

Q: Seja ABC um triângulo retângulo em B e que AB > BC. Dado um ponto P no interior de ABC, prove que PA + PB + PC < AB + AC.

Para provar que $ PA + PB + PC BC $, dado um ponto $ P $ no interior de $ ABC $, podemos seguir a seguinte abordagem: 1. **Desigualdade Triangular**: Em qualquer triângulo, a soma das distâncias de um ponto interno aos vértices é menor que a soma dos comprimentos dos lados do triângulo. 2. **Aplicação no Triângulo $ \triangle ABP $**: - $ PA + PB > AB $ 3. **Aplicação no Triângulo $ \triangle BCP $**: - $ PB + PC > BC $ 4. **Aplicação no Triângulo $ \triangle ACP $**: - $ PA + PC > AC $ 5. **Somando as Desigualdades**: - Somando as três desigualdades acima, obtemos: \[ (PA + PB) + (PB + PC) + (PA + PC) > AB + BC + AC \] 6. **Simplificação**: - Isso simplifica para $ 2(PA + PB + PC) > AB + BC + AC $. 7. **Conclusão**: - Como $ AB > BC $, temos $ BC < AB $. - Assim, $ 2(PA + PB + PC) < 2(AB + AC) $, então $ PA + PB + PC < AB + AC $. Portanto, a soma das distâncias de $ P $ aos vértices $ A $, $ B $ e $ C $ é menor que a soma dos comprimentos dos lados $ AB $ e $ AC $.

Question

Seja ABC um triângulo retângulo em B e que AB > BC. Dado um ponto P no interior de ABC, prove que PA + PB + PC < AB + AC.

Accepted Answer

Para provar que $ PA + PB + PC < AB + AC $, onde $ ABC $ é um triângulo retângulo em $ B $ e $ AB > BC $, dado um ponto $ P $ no interior de $ ABC $, podemos seguir a seguinte abordagem: 1. **Desigualdade Triangular**: Em qualquer triângulo, a soma das distâncias de um ponto interno aos vértices é menor que a soma dos comprimentos dos lados do triângulo. 2. **Aplicação no Triângulo $ \triangle ABP $**: - $ PA + PB > AB $ 3. **Aplicação no Triângulo $ \triangle BCP $**: - $ PB + PC > BC $ 4. **Aplicação no Triângulo $ \triangle ACP $**: - $ PA + PC > AC $ 5. **Somando as Desigualdades**: - Somando as três desigualdades acima, obtemos: $$ (PA + PB) + (PB + PC) + (PA + PC) > AB + BC + AC $$ 6. **Simplificação**: - Isso simplifica para $ 2(PA + PB + PC) > AB + BC + AC $. 7. **Conclusão**: - Como $ AB > BC $, temos $ BC < AB $. - Assim, $ 2(PA + PB + PC) < 2(AB + AC) $, então $ PA + PB + PC < AB + AC $. Portanto, a soma das distâncias de $ P $ aos vértices $ A $, $ B $ e $ C $ é menor que a soma dos comprimentos dos lados $ AB $ e $ AC $.

Seja ABC um triângulo retângulo em B e que AB > BC. Dado um ...

Seja ABC um triângulo retângulo em B e que AB > BC. Dado um ponto P no interior de ABC, prove que PA + PB + PC < AB + AC.

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