Seja f : R → R, definida por f(x) = x sen x. Prove que, para todo
c ∈ R, existe uma seq¨uˆencia xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e
limn→∞ f(xn) = c.

Q: Seja f : R → R, definida por f(x) = x sen x. Prove que, para todo c ∈ R, existe uma seq¨uˆencia xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e limn→∞ f(xn) = c.

Para provar que, para todo $ c \in \mathbb{R} $, existe uma sequência $ x_n \in \mathbb{R} $ tal que $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$ e $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$, consideremos a função $ f(x) = x \sin x $. A ideia é usar as propriedades oscilatórias da função seno, que oscila entre -1 e 1. Assim, podemos escolher uma sequência de valores $ x_n $ tal que o produto $ x_n \sin x_n $ se aproxime de qualquer valor real $ c $. ### Construção da Sequência 1. **Escolha de $ x_n $:** Definimos a sequência $ x_n = n\pi + \frac{\theta_n}{n} $, onde $ \theta_n $ é um número real que será escolhido posteriormente. 2. **Comportamento de $\sin x_n$:** Note que: \[ \sin x_n = \sin\left(n\pi + \frac{\theta_n}{n}\right) = \sin\left(\frac{\theta_n}{n}\right) \] Usando a aproximação $\sin y \approx y$ para $ y $ próximo de zero, temos: \[ \sin\left(\frac{\theta_n}{n}\right) \approx \frac{\theta_n}{n} \] 3. **Comportamento de $ f(x_n) $:** Então: \[ f(x_n) = x_n \sin x_n = \left(n\pi + \frac{\theta_n}{n}\right) \cdot \frac{\theta_n}{n} = \pi \theta_n + \frac{\theta_n^2}{n^2} \] 4. **Escolha de $ \theta_n $:** Para garantir que $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$, escolhemos $\theta_n = \frac{c}{\pi}$. Assim, temos: \[ f(x_n) = \pi \cdot \frac{c}{\pi} + \frac{\left(\frac{c}{\pi}\right)^2}{n^2} = c + \frac{c^2}{\pi^2 n^2} \] 5. **Limite:** Finalmente, como $ n \to \infty $, o termo $\frac{c^2}{\pi^2 n^2} \to 0$. Portanto, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$. ### Conclusão Portanto, para qualquer $ c \in \mathbb{R} $, conseguimos construir uma sequência $ x_n $ tal que $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$ e $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$. Isso conclui a prova.

Question

Seja f : R → R, definida por f(x) = x sen x. Prove que, para todo
c ∈ R, existe uma seq¨uˆencia xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e
limn→∞ f(xn) = c.

Accepted Answer

Para provar que, para todo $ c \in \mathbb{R} $, existe uma sequência $ x_n \in \mathbb{R} $ tal que $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$ e $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$, consideremos a função $ f(x) = x \sin x $.

A ideia é usar as propriedades oscilatórias da função seno, que oscila entre -1 e 1. Assim, podemos escolher uma sequência de valores $ x_n $ tal que o produto $ x_n \sin x_n $ se aproxime de qualquer valor real $ c $.

### Construção da Sequência

1. **Escolha de $ x_n $:** 
   Definimos a sequência $ x_n = n\pi + \frac{\theta_n}{n} $, onde $ \theta_n $ é um número real que será escolhido posteriormente.

2. **Comportamento de $\sin x_n$:**
   Note que:
   $$
   \sin x_n = \sin\left(n\pi + \frac{\theta_n}{n}\right) = \sin\left(\frac{\theta_n}{n}\right)
   $$
   Usando a aproximação $\sin y \approx y$ para $ y $ próximo de zero, temos:
   $$
   \sin\left(\frac{\theta_n}{n}\right) \approx \frac{\theta_n}{n}
   $$

3. **Comportamento de $ f(x_n) $:**
   Então:
   $$
   f(x_n) = x_n \sin x_n = \left(n\pi + \frac{\theta_n}{n}\right) \cdot \frac{\theta_n}{n} = \pi \theta_n + \frac{\theta_n^2}{n^2}
   $$

4. **Escolha de $ \theta_n $:**
   Para garantir que $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$, escolhemos $\theta_n = \frac{c}{\pi}$. Assim, temos:
   $$
   f(x_n) = \pi \cdot \frac{c}{\pi} + \frac{\left(\frac{c}{\pi}\right)^2}{n^2} = c + \frac{c^2}{\pi^2 n^2}
   $$

5. **Limite:**
   Finalmente, como $ n \to \infty $, o termo $\frac{c^2}{\pi^2 n^2} \to 0$. Portanto, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$.

### Conclusão
Portanto, para qualquer $ c \in \mathbb{R} $, conseguimos construir uma sequência $ x_n $ tal que $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$ e $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = c$. Isso conclui a prova.

Seja f : R → R, definida por f(x) = x sen x. Prove que, para...

Seja f : R → R, definida por f(x) = x sen x. Prove que, para todo c ∈ R, existe uma seq¨uˆencia xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e limn→∞ f(xn) = c.

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