Sejam α = {(0, 2),(2, −1)} e β = {(1, 1, 0),(0, 0, −1),(1, 0, 1)} bases de R
2
e R
3
. Se
[S]
α
β =


2 0
4 0
0 −4

 .
Dê a expressão para S(x, y)

Question

Sejam α = {(0, 2),(2, −1)} e β = {(1, 1, 0),(0, 0, −1),(1, 0, 1)} bases de R
2
e R
3
. Se
[S]
α
β =


2 0
4 0
0 −4

 .
Dê a expressão para S(x, y)

Accepted Answer

Para encontrar a expressão de $S(x, y)$ dado que $[S]_{\alpha}^{\beta} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 4 & 0 \ 0 & -4 \end{bmatrix}$, primeiro precisamos entender o que isso significa. A matriz $[S]_{\alpha}^{\beta}$ representa a transformação linear $S: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ na base $\alpha$ de $\mathbb{R}^2$ e na base $\beta$ de $\mathbb{R}^3$. As colunas da matriz $[S]_{\alpha}^{\beta}$ representam as imagens dos vetores da base $\alpha$ expressas nas coordenadas da base $\beta$.

As bases são dadas como:
- $\alpha = \{(0, 2), (2, -1)\}$ para $\mathbb{R}^2$
- $\beta = \{(1, 1, 0), (0, 0, -1), (1, 0, 1)\}$ para $\mathbb{R}^3$

A matriz $[S]_{\alpha}^{\beta} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 4 & 0 \ 0 & -4 \end{bmatrix}$ indica que:
- $S(0, 2) = 2(1, 1, 0) + 4(0, 0, -1) + 0(1, 0, 1) = (2, 2, -4)$
- $S(2, -1) = 0(1, 1, 0) + 0(0, 0, -1) - 4(1, 0, 1) = (-4, 0, -4)$

Para expressar $S(x, y)$ em termos de $x$ e $y$, precisamos escrever um vetor $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ como combinação linear da base $\alpha$, ou seja, encontrar $a$ e $b$ tais que $(x, y) = a(0, 2) + b(2, -1)$.

Resolvendo o sistema para encontrar $a$ e $b$:
$$
\begin{align*}
0a + 2b &= x \
2a - b &= y
\end{align*}
$$

Multiplicando a primeira equação por $1/2$, temos:
$$
\begin{align*}
b &= \frac{x}{2} \
2a - \frac{x}{2} &= y \
2a &= y + \frac{x}{2} \
a &= \frac{y}{2} + \frac{x}{4}
\end{align*}
$$

Agora, podemos expressar $S(x, y)$ como:
$$
S(x, y) = aS(0, 2) + bS(2, -1)
$$
Substituindo os valores de $a$ e $b$, obtemos:
$$
\begin{align*}
S(x, y) &= \left(\frac{y}{2} + \frac{x}{4}\right)(2, 2, -4) + \left(\frac{x}{2}\right)(-4, 0, -4) \
&= \left(\frac{y}{2} + \frac{x}{4}\right)(2, 2, -4) + \left(\frac{x}{2}\right)(-4, 0, -4) \
&= \left(\frac{y}{2} + \frac{x}{4}\right)(2, 2, -4) + \left(\frac{x}{2}\right)(-4, 0, -4) \
&= \left(y + \frac{x}{2}\right, y + \frac{x}{2}, -2y - x\right) + \left(-2x, 0, -2x\right) \
&= \left(y + \frac{x}{2} - 2x, y + \frac{x}{2}, -2y - x - 2x\right) \
&= \left(-\frac{3x}{2} + y, y + \frac{x}{2}, -2y - 3x\right)
\end{align*}
$$

Portanto, a expressão de $S(x, y)$ é:
$$
S(x, y) = \left(-\frac{3x}{2} + y, y + \frac{x}{2}, -2y - 3x\right)
$$

Sejam α = {(0, 2),(2, −1)} e β = {(1, 1, 0),(0, 0, −1),(1, 0...

Sejam α = {(0, 2),(2, −1)} e β = {(1, 1, 0),(0, 0, −1),(1, 0, 1)} bases de R 2 e R 3 . Se [S] α β =   2 0 4 0 0 −4   . Dê a expressão para S(x, y)

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