Sejam a e b números reais tais que a matriz A=(1021)

satisfaz a equação A2=aA+bI2
, em que I2
é a matriz identidade de ordem 2
.

Logo, a diferença a−b
é igual a

Questão 1Escolha uma opção:

a.
2

b.
-1

c.
3

d.
1

Q: Sejam a e b números reais tais que a matriz A=(1021) satisfaz a equação A2=aA+bI2 , em que I2 é a matriz identidade de ordem 2 . Logo, a diferença a−b é igual a Questão 1Escolha uma opção: a. 2 b. -1 c. 3 d. 1

Para resolver essa questão, vamos primeiramente calcular $A^2$, onde $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. \[A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\] Realizando a multiplicação das matrizes: \[A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot2 & 1\cdot0 + 0\cdot1 \\ 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix}\] \[A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\] Agora, vamos considerar a equação dada $A^2 = aA + bI_2$, substituindo $A^2$ e $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] Isso nos dá o seguinte sistema de equações, comparando os elementos correspondentes das matrizes: 1. Para o elemento (1,1): $1 = a + b$ 2. Para o elemento (2,1): $4 = 2a$ 3. Para o elemento (2,2): $1 = a + b$ Da segunda equação, podemos encontrar $a$: \[4 = 2a \Rightarrow a = 2\] Substituindo $a = 2$ na primeira ou terceira equação para encontrar $b$: \[1 = 2 + b \Rightarrow b = -1\] Finalmente, a diferença $a - b$ é: \[a - b = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3\] Portanto, a resposta correta é: c. 3

Question

Sejam a e b números reais tais que a matriz A=(1021)

satisfaz a equação A2=aA+bI2
, em que I2
 é a matriz identidade de ordem 2
.

Logo, a diferença a−b
 é igual a

Questão 1Escolha uma opção:

a.
2

b.
-1

c.
3

d.
1

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos primeiramente calcular $A^2$, onde $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Realizando a multiplicação das matrizes:

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot2 & 1\cdot0 + 0\cdot1 \ 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix}$$
$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Agora, vamos considerar a equação dada $A^2 = aA + bI_2$, substituindo $A^2$ e $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Isso nos dá o seguinte sistema de equações, comparando os elementos correspondentes das matrizes:

1. Para o elemento (1,1): $1 = a + b$
2. Para o elemento (2,1): $4 = 2a$
3. Para o elemento (2,2): $1 = a + b$

Da segunda equação, podemos encontrar $a$:

$$4 = 2a \Rightarrow a = 2$$

Substituindo $a = 2$ na primeira ou terceira equação para encontrar $b$:

$$1 = 2 + b \Rightarrow b = -1$$

Finalmente, a diferença $a - b$ é:

$$a - b = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$$

Portanto, a resposta correta é:

c. 3

Sejam a e b números reais tais que a matriz A=(1021) satisf...

Sejam a e b números reais tais que a matriz A=(1021)

satisfaz a equação A2=aA+bI2 , em que I2 é a matriz identidade de ordem 2 .

Logo, a diferença a−b é igual a

Questão 1Escolha uma opção:

a. 2

b. -1

c. 3

d. 1

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