Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os pontos onde as bissetrizes interna e externa relativas ao vértice A intersectam o círculo circunscrito a ABC. Prove que MN é um diâmetro desse círculo.

Q: Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os pontos onde as bissetrizes interna e externa relativas ao vértice A intersectam o círculo circunscrito a ABC. Prove que MN é um diâmetro desse círculo.

Para provar que $MN$ é um diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo $ABC$, vamos considerar algumas propriedades das bissetrizes e do círculo circunscrito. 1. **Definições**: - $M$ é o ponto onde a bissetriz interna do ângulo $A$ intercepta o círculo circunscrito. - $N$ é o ponto onde a bissetriz externa do ângulo $A$ intercepta o círculo circunscrito. 2. **Propriedade da bissetriz**: - A bissetriz interna divide o ângulo $A$ em dois ângulos iguais. - A bissetriz externa forma um ângulo suplementar com o ângulo $A$. 3. **Ângulos no círculo**: - No círculo, os ângulos subtendidos por um mesmo arco são iguais. - Se dois ângulos são opostos pelo vértice e estão no círculo, eles são suplementares. 4. **Prova**: - Como $M$ e $N$ são pontos de interseção das bissetrizes com o círculo, o arco $MN$ subtende um ângulo reto no círculo (propriedade do ângulo interno e externo). - Portanto, o segmento $MN$ deve ser um diâmetro, pois só um diâmetro subtende um ângulo reto no círculo. Assim, $MN$ é um diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo $ABC$.

Question

Accepted Answer

Para provar que $MN$ é um diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo $ABC$, vamos considerar algumas propriedades das bissetrizes e do círculo circunscrito.

1. **Definições**:
   - $M$ é o ponto onde a bissetriz interna do ângulo $A$ intercepta o círculo circunscrito.
   - $N$ é o ponto onde a bissetriz externa do ângulo $A$ intercepta o círculo circunscrito.

2. **Propriedade da bissetriz**:
   - A bissetriz interna divide o ângulo $A$ em dois ângulos iguais.
   - A bissetriz externa forma um ângulo suplementar com o ângulo $A$.

3. **Ângulos no círculo**:
   - No círculo, os ângulos subtendidos por um mesmo arco são iguais.
   - Se dois ângulos são opostos pelo vértice e estão no círculo, eles são suplementares.

4. **Prova**:
   - Como $M$ e $N$ são pontos de interseção das bissetrizes com o círculo, o arco $MN$ subtende um ângulo reto no círculo (propriedade do ângulo interno e externo).
   - Portanto, o segmento $MN$ deve ser um diâmetro, pois só um diâmetro subtende um ângulo reto no círculo.

Assim, $MN$ é um diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo $ABC$.

Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os...

Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os pontos onde as bissetrizes interna e externa relativas ao vértice A intersectam o círculo circunscrito a ABC. Prove que MN é um diâmetro desse círculo.

Ask a question and receive an answer instantly