Sejam os campos vetoriais \vec{G}(u, v, w) = (u + w, v + u, w + 1), \vec{F}(x, y, z) = (x - 2y, 2y - z, x + y) e \vec{H}(u, v) = (2 - u^2, v^2, 3v). Determine o módulo da imagem do campo vetorial \vec{Q} (x, y, z), para o ponto (x,y,z) = (0,1,-1). Sabe-se que \vec{Q} (x, y, z) = 2\vec{G}(x, y, z) imes (\vec{F} (x, y, z) + \vec{H} (x, y)).

Question

Sejam os campos vetoriais \vec{G}(u, v, w) = (u + w, v + u, w + 1), \vec{F}(x, y, z) = (x - 2y, 2y - z, x + y) e \vec{H}(u, v) = (2 - u^2, v^2, 3v). Determine o módulo da imagem do campo vetorial \vec{Q} (x, y, z), para o ponto (x,y,z) = (0,1,-1). Sabe-se que \vec{Q} (x, y, z) = 2\vec{G}(x, y, z) 	imes (\vec{F} (x, y, z) + \vec{H} (x, y)).

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular o módulo do campo vetorial $\vec{Q}(x, y, z)$ no ponto $(x, y, z) = (0, 1, -1)$.

Dado:

$$
\vec{G}(u, v, w) = (u + w, v + u, w + 1)
$$

$$
\vec{F}(x, y, z) = (x - 2y, 2y - z, -z, x + y)
$$

$$
\vec{H}(u, v) = \langle 2 - u^2, v^2, 3v \rangle
$$

E sabemos que:

$$
\vec{Q}(x, y, z) = 2\vec{G}(x, y, z) \times (\vec{F}(x, y, z) + \vec{H}(x, y))
$$

1. Calcular $\vec{G}(0, 1, -1)$:

$$
\vec{G}(0, 1, -1) = (0 - 1, 1 + 0, -1 + 1) = (-1, 1, 0)
$$

2. Calcular $\vec{F}(0, 1, -1)$:

$$
\vec{F}(0, 1, -1) = (0 - 2\cdot1, 2\cdot1 - (-1), -(-1), 0 + 1) = (-2, 3, 1, 1)
$$

3. Calcular $\vec{H}(0, 1)$:

$$
\vec{H}(0, 1) = \langle 2 - 0^2, 1^2, 3\cdot1 \rangle = \langle 2, 1, 3 \rangle
$$

4. Calcular $\vec{F}(0, 1, -1) + \vec{H}(0, 1)$:

$$
\vec{F}(0, 1, -1) + \vec{H}(0, 1) = (-2, 3, 1) + (2, 1, 3) = (0, 4, 4)
$$

5. Calcular o produto vetorial $2\vec{G}(0, 1, -1) \times (0, 4, 4)$:

Primeiro, $2\vec{G}(0, 1, -1) = 2(-1, 1, 0) = (-2, 2, 0)$.

Agora, o produto vetorial:

$$
(-2, 2, 0) \times (0, 4, 4) = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-2 & 2 & 0 \
0 & 4 & 4 \
\end{array} \right|
$$

Calculando o determinante:

$$
= \hat{i}(2\cdot4 - 0\cdot4) - \hat{j}(-2\cdot4 - 0\cdot0) + \hat{k}(-2\cdot4 - 0\cdot2)
$$

$$
= 8\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}
$$

6. O módulo de $\vec{Q}(x, y, z)$:

$$
\|\vec{Q}(x, y, z)\| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}
$$

**Resposta: D**

O módulo da imagem do campo vetorial $\vec{Q}(x, y, z)$ é $8\sqrt{3}$.

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