Sendo logb a=4 e logb c=1 encontre o valor de: a) logb (ac) b)logb(a\c) c) logb(ac)^2 d)logb ( raiz de a • c)
A
Aluno
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20/06/24

Question

Sendo logb a=4 e logb c=1 encontre o valor de: a) logb (ac)   b)logb(a\c) c) logb(ac)^2  d)logb ( raiz de a • c)

Accepted Answer

Vamos resolver cada item utilizando as propriedades dos logaritmos.

Dados:
$$ \log_b a = 4 $$
$$ \log_b c = 1 $$

a) $ \log_b (ac) $

Usamos a propriedade do logaritmo que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:

$$ \log_b (ac) = \log_b a + \log_b c $$

Substituindo os valores dados:

$$ \log_b (ac) = 4 + 1 = 5 $$

b) $ \log_b \left(\frac{a}{c}\right) $

Usamos a propriedade do logaritmo que diz que o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:

$$ \log_b \left(\frac{a}{c}\right) = \log_b a - \log_b c $$

Substituindo os valores dados:

$$ \log_b \left(\frac{a}{c}\right) = 4 - 1 = 3 $$

c) $ \log_b (ac)^2 $

Primeiro, aplicamos a propriedade do logaritmo que diz que o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base. Depois, usamos a propriedade do logaritmo do produto:

$$ \log_b (ac)^2 = 2 \cdot \log_b (ac) $$

Já sabemos que $ \log_b (ac) = 5 $:

$$ \log_b (ac)^2 = 2 \cdot 5 = 10 $$

d) $ \log_b (\sqrt{a \cdot c}) $

Primeiro, escrevemos a raiz quadrada como uma potência de 1/2 e depois aplicamos a propriedade do logaritmo para potências:

$$ \log_b (\sqrt{a \cdot c}) = \log_b (a \cdot c)^{1/2} $$

$$ \log_b (a \cdot c)^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \log_b (a \cdot c) $$

Já sabemos que $ \log_b (a \cdot c) = 5 $:

$$ \log_b (\sqrt{a \cdot c}) = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 $$

Portanto, os valores são:
a) $ \log_b (ac) = 5 $
b) $ \log_b \left(\frac{a}{c}\right) = 3 $
c) $ \log_b (ac)^2 = 10 $
d) $ \log_b (\sqrt{a \cdot c}) = 2.5 $