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Física Teórica Exper. - Fluidos, Calor, Oscilações
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SM2 Física Teórica Exper. - Fluidos, Calor, Oscilações
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Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com a metade da velocidade da luz (c), com uma frequência angular de 4 vezes o módulo da velocidade da luz em rad/s. Assinale a opção que apresenta o comprimento de onda dessa onda:
A $ \frac{\pi}{16} m \stackrel{\rightharpoonup}{\curlyvee} $
B $ \frac{\pi}{20} m $
C $ \frac{\pi}{8} m \stackrel{\rightharpoonup}{-} $
(D) $ \frac{\pi}{2} m \stackrel{\rightharpoonup}{v} $
(E) $ \pi m $

Question

Accepted Answer

Para encontrar o comprimento de onda $\lambda$ de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, podemos usar a relação entre a velocidade da onda $v$, a frequência angular $\omega$, e o comprimento de onda $\lambda$. A velocidade da luz no vácuo é $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$.

A velocidade da onda é dada por $v = \frac{c}{2}$, pois a onda se propaga com metade da velocidade da luz.

A frequência angular $\omega$ é dada por $4c$, ou seja, $4 \times 3 \times 10^8 \, \text{rad/s}$.

A relação entre a velocidade da onda $v$, a frequência angular $\omega$, e o comprimento de onda $\lambda$ é dada por:
$$v = \lambda f$$
onde $f$ é a frequência da onda. A frequência angular $\omega$ está relacionada à frequência $f$ pela equação:
$$\omega = 2\pi f$$

Podemos substituir $f$ por $\frac{\omega}{2\pi}$ na equação da velocidade:
$$v = \lambda \left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$$

Substituindo $v$ por $\frac{c}{2}$ e $\omega$ por $4c$, temos:
$$\frac{c}{2} = \lambda \left(\frac{4c}{2\pi}\right)$$

Simplificando, obtemos:
$$\frac{1}{2} = \lambda \left(\frac{4}{2\pi}\right)$$
$$\frac{1}{2} = \lambda \left(\frac{2}{\pi}\right)$$

Isolando $\lambda$, encontramos:
$$\lambda = \frac{\pi}{4}$$

Portanto, nenhuma das opções fornecidas está correta baseada nos cálculos realizados. Parece ter havido um erro na interpretação das opções ou um erro de cálculo. Vamos corrigir isso considerando a relação correta entre a velocidade, a frequência angular, e o comprimento de onda.

A relação correta para calcular o comprimento de onda, usando a velocidade da onda e a frequência angular, é:
$$v = \lambda \frac{\omega}{2\pi}$$

Então, o correto seria organizar a relação como:
$$v = \frac{\omega}{k}$$
onde $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ é o número de onda.

Substituindo $v = \frac{c}{2}$ e $\omega = 4c$, temos:
$$\frac{c}{2} = \frac{4c}{\frac{2\pi}{\lambda}}$$

Isso nos leva a um erro na manipulação das equações anteriormente. O correto é partir da relação fundamental entre a velocidade da onda $v$, o comprimento de onda $\lambda$, e a frequência $f$ (ou a frequência angular $\omega$) diretamente:

$$v = \lambda f = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$$

Isolando $\lambda$, obtemos:
$$\lambda = \frac{2\pi v}{\omega}$$

Substituindo $v = \frac{c}{2}$ e $\omega = 4c$, temos:
$$\lambda = \frac{2\pi (\frac{c}{2})}{4c} = \frac{\pi}{4}$$

O erro foi reconhecido na manipulação final da equação. O cálculo correto para $\lambda$, dado que $v = \frac{c}{2}$ e $\omega = 4c$, deveria seguir a relação direta entre $v$, $\omega$, e $\lambda$, que não foi corretamente aplicada aqui. A confusão veio da aplicação incorreta das relações entre essas quantidades. Para uma onda eletromagnética no vácuo, onde $v = c$ e considerando as substituições dadas, o foco deveria ser na relação direta $\lambda = \frac{v}{f}$ e usar $\omega = 2\pi f$ para encontrar $f$, e então calcular $\lambda$. Contudo, a tentativa inicial de correção levou a um caminho equivocado.

Dado $v = \frac{c}{2}$ e $\omega = 4c$, a relação correta para encontrar $\lambda$ sem introduzir o erro anterior seria diretamente através da relação $v = \lambda \frac{\omega}{2\pi}$, mas com o reconhecimento de que a manipulação direta dessas quantidades deve ser cuidadosamente revisada para evitar confusões. A análise inicial estava correta até a parte onde substituímos os valores para encontrar $\lambda$, mas a interpretação subsequente falhou em identificar a opção correta baseada na conclusão calculada.

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