Sob a iluminação de uma lâmpada, um estudante segura uma caneta paralelamente à superfície de uma mesa, projetando sobre a mesa uma sombra dessa caneta. Com o auxílio de uma régua, ele mede algumas dimensões, que estão indicadas na imagem.

Considere que a lâmpada e a caneta se encontrem em um plano ortogonal à superfície da mesa. Com base nas medidas obtidas, o estudante conclui que a lâmpada está distanciada da mesa em
(A) 115 cm.
(B) 100 cm.
(C) 165 cm.
(D) 130 cm.
(E) 145 cm.

Question

Sob a iluminação de uma lâmpada, um estudante segura uma caneta paralelamente à superfície de uma mesa, projetando sobre a mesa uma sombra dessa caneta. Com o auxílio de uma régua, ele mede algumas dimensões, que estão indicadas na imagem.

Considere que a lâmpada e a caneta se encontrem em um plano ortogonal à superfície da mesa. Com base nas medidas obtidas, o estudante conclui que a lâmpada está distanciada da mesa em
(A) 115 cm.
(B) 100 cm.
(C) 165 cm.
(D) 130 cm.
(E) 145 cm.

Accepted Answer

Para resolver o problema, podemos usar semelhança de triângulos. Vamos considerar dois triângulos:

1. Triângulo formado pela lâmpada, a ponta da caneta e a extremidade da sombra (triângulo maior).
2. Triângulo formado pela lâmpada, a ponta da caneta e a base da caneta (triângulo menor).

As medidas dadas são:
- Comprimento da caneta: 20 cm
- Comprimento total da sombra: 22 cm
- Distância do topo da caneta à mesa: 15 cm
- Altura da caneta em relação à mesa: 1 cm

Podemos estabelecer a seguinte proporção entre os triângulos semelhantes:

$$
\frac{\text{Altura da lâmpada}}{\text{Altura da caneta}} = \frac{\text{Comprimento total da sombra}}{\text{Comprimento da caneta}}
$$

Seja $ h $ a altura da lâmpada em relação à mesa. A altura do triângulo maior é $ h + 1 $ (considerando a altura da caneta como 1 cm). Assim, a equação fica:

$$
\frac{h + 1}{1} = \frac{22}{20}
$$

Resolvendo para $ h $:

$$
h + 1 = \frac{22}{20} \times 1
$$

$$
h + 1 = \frac{22}{20} \times 15
$$

$$
h + 1 = 16,5
$$

$$
h = 16,5 - 1
$$

$$
h = 15,5
$$

Portanto, a distância da lâmpada à mesa é de 165 cm.

**Resposta: C (165 cm)**

Sob a iluminação de uma lâmpada, um estudante segura uma can...

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