Sob o balcão de vendas de uma quitanda, há uma caixa com três melões de $ 1,0 \mathrm{~kg} $ cada, duas minimelancias de $ 3,0 \mathrm{~kg} $ cada e cinco cocos verdes de $ 2,0 \mathrm{~kg} $ cada. O dono da loja precisa fazer um teste na balança que fica no balcão e, para isso, vai retirar dessa caixa, aleatoriamente e sem reposição, três frutas. Nessas retiradas, o dono da quitanda consegue identificar a fruta que pegou apenas quando a coloca sobre o balcão ao lado da balança. Além disso, ele desconhece a massa das frutas.

Considere que a balança está em perfeito estado de funcionamento e que ela égrande o suficiente para o dono da loja pesar três frutas quaisquer da caixa simultaneamente.
A probabilidade de que a balança registre $ 6 \mathrm{~kg} $ quando o dono da quitanda pesar, ao mesmo tempo, as três frutas retiradas da caixa é igual a:

Question

Sob o balcão de vendas de uma quitanda, há uma caixa com três melões de $1,0 \mathrm{~kg}$ cada, duas minimelancias de $3,0 \mathrm{~kg}$ cada e cinco cocos verdes de $2,0 \mathrm{~kg}$ cada. O dono da loja precisa fazer um teste na balança que fica no balcão e, para isso, vai retirar dessa caixa, aleatoriamente e sem reposição, três frutas. Nessas retiradas, o dono da quitanda consegue identificar a fruta que pegou apenas quando a coloca sobre o balcão ao lado da balança. Além disso, ele desconhece a massa das frutas.

Considere que a balança está em perfeito estado de funcionamento e que ela égrande o suficiente para o dono da loja pesar três frutas quaisquer da caixa simultaneamente. A probabilidade de que a balança registre $6 \mathrm{~kg}$ quando o dono da quitanda pesar, ao mesmo tempo, as três frutas retiradas da caixa é igual a:

Considere que a balança está em perfeito estado de funcionamento e que ela égrande o suficiente para o dono da loja pesar três frutas quaisquer da caixa simultaneamente.
A probabilidade de que a balança registre $ 6 \mathrm{~kg} $ quando o dono da quitanda pesar, ao mesmo tempo, as três frutas retiradas da caixa é igual a:

Accepted Answer

Para resolver o problema, primeiro precisamos identificar todas as combinações possíveis de frutas que somam 6 kg. Depois, calculamos a probabilidade dessas combinações ocorrerem ao retirar três frutas aleatoriamente da caixa.

### Passo 1: Identificação das combinações que somam 6 kg

Temos as seguintes frutas na caixa:
- 3 melões de $ 1,0 \, \text{kg} $ cada
- 2 minimelancias de $ 3,0 \, \text{kg} $ cada
- 5 cocos verdes de $ 2,0 \, \text{kg} $ cada

Vamos verificar todas as combinações possíveis de 3 frutas que somam 6 kg:

1. **Combinando 1 minimelancia (3 kg) e 3 outras frutas que somem 3 kg:**
   - 1 minimelancia (3 kg) + 1 melão (1 kg) + 1 coco (2 kg)
   
2. **Combinando apenas cocos:**
   - 3 cocos (2 kg cada), totalizando $ 2 + 2 + 2 = 6 \, \text{kg} $

Portanto, temos duas combinações possíveis:
1. 1 minimelancia + 1 melão + 1 coco
2. 3 cocos

### Passo 2: Cálculo das probabilidades individuais

#### 1. Probabilidade de retirar 1 minimelancia, 1 melão e 1 coco
- Número de maneiras de escolher 1 minimelancia de 2: $ \binom{2}{1} = 2 $
- Número de maneiras de escolher 1 melão de 3: $ \binom{3}{1} = 3 $
- Número de maneiras de escolher 1 coco de 5: $ \binom{5}{1} = 5 $

Total de maneiras para essa combinação: $ 2 \times 3 \times 5 = 30 $

#### 2. Probabilidade de retirar 3 cocos
- Número de maneiras de escolher 3 cocos de 5: $ \binom{5}{3} = 10 $

### Passo 3: Probabilidade total

Número total de maneiras de retirar 3 frutas quaisquer da caixa (sem reposição):
- Total de frutas: $ 3 + 2 + 5 = 10 $
- Número de maneiras de escolher 3 frutas de 10: $ \binom{10}{3} = 120 $

### Passo 4: Probabilidade final

A probabilidade de cada combinação é dada pelo número de maneiras dessa combinação dividido pelo número total de maneiras de retirar 3 frutas.

- Probabilidade de 1 minimelancia, 1 melão e 1 coco: $ \frac{30}{120} = \frac{1}{4} $
- Probabilidade de 3 cocos: $ \frac{10}{120} = \frac{1}{12} $

Somando essas probabilidades:
$$ \text{Probabilidade total} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Portanto, a probabilidade de que a balança registre 6 kg ao pesar, ao mesmo tempo, as três frutas retiradas da caixa é igual a $ \boxed{\frac{1}{3}} $.

Sob o balcão de vendas de uma quitanda, há uma caixa com trê...

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