Todas as raízes da equação x²+2/x²=3 , com x ≠0 , são números reais ? Justifique

Q: Todas as raízes da equação x²+2/x²=3 , com x ≠0 , são números reais ? Justifique

Para resolver a equação $ x^2 + \frac{2}{x^2} = 3 $, primeiro vamos multiplicar toda a equação por $ x^2 $ para eliminar o denominador: \[ x^4 + 2 = 3x^2 \] Reorganizando a equação, obtemos: \[ x^4 - 3x^2 + 2 = 0 \] Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução: seja $ y = x^2 $. Assim, a equação se torna: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \] Agora, resolvemos essa equação quadrática em $ y $: O discriminante ($\Delta$) é calculado como: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] Como o discriminante é positivo, a equação tem duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las usando a fórmula de Bhaskara: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] Como $ y = x^2 $, agora temos duas equações: 1. $ x^2 = 2 $ 2. $ x^2 = 1 $ Resolvendo cada uma: 1. Para $ x^2 = 2 $, temos $ x = \pm \sqrt{2} $. 2. Para $ x^2 = 1 $, temos $ x = \pm 1 $. Portanto, as soluções para a equação original são $ x = \pm \sqrt{2} $ e $ x = \pm 1 $. Todas essas soluções são números reais. Portanto, todas as raízes da equação dada são números reais.

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Accepted Answer

Para resolver a equação $ x^2 + \frac{2}{x^2} = 3 $, primeiro vamos multiplicar toda a equação por $ x^2 $ para eliminar o denominador:

$$
x^4 + 2 = 3x^2
$$

Reorganizando a equação, obtemos:

$$
x^4 - 3x^2 + 2 = 0
$$

Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução: seja $ y = x^2 $. Assim, a equação se torna:

$$
y^2 - 3y + 2 = 0
$$

Agora, resolvemos essa equação quadrática em $ y $:

O discriminante ($\Delta$) é calculado como:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1
$$

Como o discriminante é positivo, a equação tem duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las usando a fórmula de Bhaskara:

$$
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}
$$

$$
y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2
$$

$$
y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1
$$

Como $ y = x^2 $, agora temos duas equações:

1. $ x^2 = 2 $
2. $ x^2 = 1 $

Resolvendo cada uma:

1. Para $ x^2 = 2 $, temos $ x = \pm \sqrt{2} $.
2. Para $ x^2 = 1 $, temos $ x = \pm 1 $.

Portanto, as soluções para a equação original são $ x = \pm \sqrt{2} $ e $ x = \pm 1 $.

Todas essas soluções são números reais. Portanto, todas as raízes da equação dada são números reais.

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Todas as raízes da equação x²+2/x²=3 , com x ≠0 , são números reais ? Justifique

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