(UA-AM) Simplifique a expressão:

((n + 1)! + n!) / ((n + 2)!), (n ∈ N, n ≥ 1)

Q: (UA-AM) Simplifique a expressão: ((n + 1)! + n!) / ((n + 2)!), (n ∈ N, n ≥ 1)

Para simplificar a expressão $\frac{(n+1)! + n!}{(n+2)!}$, vamos seguir os passos abaixo: 1. Expanda os fatoriais: - $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ - $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$ 2. Substitua na expressão: \[ \frac{(n+1)! + n!}{(n+2)!} = \frac{(n+1) \cdot n! + n!}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!} \] 3. Coloque $n!$ em evidência no numerador: \[ = \frac{n! \cdot ((n+1) + 1)}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!} \] \[ = \frac{n! \cdot (n+2)}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!} \] 4. Cancele os termos comuns ($n!$ e $(n+2)$): \[ = \frac{1}{n+1} \] Portanto, a expressão simplificada é $\frac{1}{n+1}$.

Question

(UA-AM) Simplifique a expressão:

((n + 1)! + n!) / ((n + 2)!), (n ∈ N, n ≥ 1)

Accepted Answer

Para simplificar a expressão $\frac{(n+1)! + n!}{(n+2)!}$, vamos seguir os passos abaixo:

1. Expanda os fatoriais:
   - $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$
   - $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$

2. Substitua na expressão:
   $$
   \frac{(n+1)! + n!}{(n+2)!} = \frac{(n+1) \cdot n! + n!}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}
   $$

3. Coloque $n!$ em evidência no numerador:
   $$
   = \frac{n! \cdot ((n+1) + 1)}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}
   $$
   $$
   = \frac{n! \cdot (n+2)}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}
   $$

4. Cancele os termos comuns ($n!$ e $(n+2)$):
   $$
   = \frac{1}{n+1}
   $$

Portanto, a expressão simplificada é $\frac{1}{n+1}$.

(UA-AM) Simplifique a expressão: ((n + 1)! + n!) / ((n + 2)!), (n ∈ N, n ≥ 1)

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