Uea-sis 1 2023) Em um triângulo ABC, o ponto F está sobre o lado BC e o ponto G está sobre o lado BA, de maneira que o ângulo BFG é congruente ao ângulo BÁC, conforme mostra a figura.

Sabendo que a medida do lado RA é 3 cm maior do que a medida do lado BC e que o perímetro do triângulo BFG é igual a 16 cm, a medida do segmento BF é, aproximadamente:

6,1 cm
6,4 cm
7,0 cm
7,5 cm

Question

Uea-sis 1 2023) Em um triângulo ABC, o ponto F está sobre o lado BC e o ponto G está sobre o lado BA, de maneira que o ângulo BFG é congruente ao ângulo BÁC, conforme mostra a figura.

Sabendo que a medida do lado RA é 3 cm maior do que a medida do lado BC e que o perímetro do triângulo BFG é igual a 16 cm, a medida do segmento BF é, aproximadamente:

6,1 cm
6,4 cm
7,0 cm
7,5 cm

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as informações fornecidas:

1. $ BC = x $
2. $ BA = x + 3 $
3. $ BF = y $
4. $ FG = 4 $
5. $ BG = 10 - y - 4 = 6 - y $ (já que o perímetro de $ \triangle BFG $ é 10)

Como os ângulos $ \angle BFG $ e $ \angle BAC $ são congruentes e $ \triangle BFG \sim \triangle BAC $ (triângulos semelhantes), temos a seguinte proporção:

$$
\frac{BF}{BA} = \frac{BG}{BC}
$$

Substituindo os valores:

$$
\frac{y}{x+3} = \frac{6-y}{x}
$$

Multiplicando cruzado:

$$
y \cdot x = (6-y) \cdot (x+3)
$$

Expansão:

$$
yx = 6x + 18 - yx - 3y
$$

Simplificando:

$$
2yx + 3y = 6x + 18
$$

Sabemos que $ x = 7 $ (pois $ BC = 7 $):

$$
2y \cdot 7 + 3y = 6 \cdot 7 + 18
$$

$$
14y + 3y = 42 + 18
$$

$$
17y = 60
$$

$$
y = \frac{60}{17} \approx 3.53
$$

Portanto, a medida do segmento $ BF $ é aproximadamente **3,5 cm**.

Uea-sis 1 2023) Em um triângulo ABC, o ponto F está sobre o ...

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