Uece) Considere as matrizes M = [ 1 2 ] e N = [ p q ] Se M N = N M, é correto afirmar que o determinante da matriz N é igual a
A
2p² - 3q²
3
B
3p² - 2q²
3
C
3p² - 2q²
2
D
2p² - 3q²
2

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar o determinante da matriz $ N $ dado que $ M \cdot N = N \cdot M $.

As matrizes são:

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 \end{bmatrix} $$
$$ N = \begin{bmatrix} p & q \ u & v \end{bmatrix} $$

A condição $ M \cdot N = N \cdot M $ implica que as matrizes comutam. Para matrizes $ 2 \times 2 $, isso ocorre quando:

$$ \text{det}(N) = 0 \quad \text{ou} \quad M \text{ e } N \text{ são múltiplos escalares entre si.} $$

Vamos calcular o determinante de $ N $:

$$ \text{det}(N) = pv - qu $$

Agora, calculando $ M \cdot N $ e $ N \cdot M $:

$$ M \cdot N = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p & q \ u & v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p + 2u & q + 2v \ 3p + u & 3q + v \end{bmatrix} $$

$$ N \cdot M = \begin{bmatrix} p & q \ u & v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p + 3q & 2p + q \ u + 3v & 2u + v \end{bmatrix} $$

Igualando os termos correspondentes das duas multiplicações, temos:

1. $ p + 2u = p + 3q $
2. $ q + 2v = 2p + q $
3. $ 3p + u = u + 3v $
4. $ 3q + v = 2u + v $

Resolvendo essas equações, obtemos:

1. $ 2u = 3q \Rightarrow u = \frac{3}{2}q $
2. $ 2v = 2p \Rightarrow v = p $
3. $ 3p = 3v \Rightarrow p = v $

Substituindo em $ \text{det}(N) = pv - qu $:

$$ \text{det}(N) = p^2 - q\left(\frac{3}{2}q\right) = p^2 - \frac{3}{2}q^2 $$

Portanto, o determinante é:

$$ \frac{2p^2 - 3q^2}{2} $$

**Resposta: D**

Uece) Considere as matrizes M = [ 1 2 ] e N = [ p q ] Se M N...

Uece) Considere as matrizes M = [ 1 2 ] e N = [ p q ] Se M N = N M, é correto afirmar que o determinante da matriz N é igual a A 2p² - 3q² 3 B 3p² - 2q² 3 C 3p² - 2q² 2 D 2p² - 3q² 2

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