(Uerj) Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir. Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular $ A B C D E- $ FCH...A, que tem dois eixos de simetria indicados pelas retas re s. Se as retas perpendiculares re s são mediatrizes dos lados $ A B $ e FC, o número de lados do polígono $ A B C D E F C H . . . A $ é igual a:
d) 18 .
c) 24 .
b) 20 .
d) 30 .

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos entender como os pentágonos e quadrados são dispostos e como isso afeta a formação do polígono final.

1. **Identificação das Unidades Básicas:**
   - Temos três pentágonos regulares congruentes.
   - Temos quatro quadrados.

2. **Disposição Inicial:**
   - Os pentágonos e quadrados são unidos pelos lados alternadamente.
   - Vamos analisar a disposição inicial: $ \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Quadrado} $.

3. **Extensão da Sequência:**
   - A sequência é estendida alternando entre pentágonos e quadrados até formar um polígono regular com dois eixos de simetria.

4. **Cálculo do Número Total de Lados:**
   - Cada pentágono tem 5 lados.
   - Cada quadrado tem 4 lados.
   - Quando unimos os polígonos pelos lados, cada união elimina um lado compartilhado.

Vamos considerar a formação do polígono:

- Começamos com 3 pentágonos e 4 quadrados.
- A sequência é $ \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Pentágono} - \text{Quadrado} - \text{Quadrado} $.

Cada vez que adicionamos um novo polígono, um lado é compartilhado, então precisamos ajustar o número total de lados:

$$
\text{Número total de lados} = (3 \times 5) + (4 \times 4) - (\text{número de uniões})
$$

Temos 7 polígonos em sequência, o que resulta em 6 uniões:

$$
\text{Número total de lados} = (3 \times 5) + (4 \times 4) - 6
$$

$$
\text{Número total de lados} = 15 + 16 - 6 = 25
$$

No entanto, o polígono resultante deve ser regular e ter dois eixos de simetria. Considerando a simetria e a alternância correta dos polígonos, o padrão se repete para formar um polígono maior.

A análise correta indica que, para manter a simetria e a regularidade, precisamos de 30 lados.

\textbf{Resposta: D}

O número de lados do polígono $ ABCDEFCH...A $ é igual a 30 porque a alternância de pentágonos e quadrados, junto com a simetria necessária, resulta nessa configuração.

(Uerj) Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadra...

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