(UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo. Qual o perímetro do terreno? RESOLVA passo a passo

Para resolver o problema do perímetro do terreno triangular, precisamos determinar o comprimento do terceiro lado do triângulo. Podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar esse comprimento.

A Lei dos Cossenos é dada por:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

onde:

• $a$ e $b$ são os comprimentos dos lados conhecidos do triângulo,
• $c$ é o comprimento do lado que queremos encontrar,
• $\gamma$ é o ângulo entre os lados $a$ e $b$.

No nosso caso, temos:

• $a = 15$ m,
• $b = 10$ m,
• $\gamma = 60^\circ$.

Vamos substituir esses valores na fórmula:

$$c^2 = 15^2 + 10^2 - 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)$$

Sabemos que $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Substituindo isso na equação, temos:

$$c^2 = 225 + 100 - 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$$

Simplificando:

$$c^2 = 225 + 100 - 150$$ $$c^2 = 175$$ $$c = \sqrt{175}$$ $$c = \sqrt{25 \cdot 7}$$ $$c = 5\sqrt{7}$$

Agora que temos o comprimento do terceiro lado, podemos calcular o perímetro do triângulo somando os comprimentos dos três lados:

$$P = a + b + c$$

Substituindo os valores:

$$P = 15 + 10 + 5\sqrt{7}$$

Portanto, o perímetro do terreno é:

$$P = 25 + 5\sqrt{7} \text{ metros}$$