UFBA - Universidade Federal da Bahia
IME - Instituto de Matemática e Estatística
DMAT - Departamento de Matemática
Disciplina MATA01 - Geometria Analítica
Professora - Ana Lucia Pinheiro Lima
Turma 06 - 2024.2

Estudante -

Avaliação 2 - Retas e Planos (valor 10,0)

1. (valor 2,0) Sejam os vetores $ \mathbf{u} = (3,m,-2), \mathbf{v} = (1,-1,0), \mathbf{w} = (2,-1,2). $ Determine o valor de $ m $ de modo que o volume do paralelepípedo determinado por $ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} $ seja igual a 16 u.v..

2. (valor 2,0) Escreva uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,3), B(3,-3,4), C(-1,1,-4).

3. (valor 2,0) Determine o valor de $ m $ para que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas, onde
$ r : \begin{cases} x - my + 1 = 0 \ s : x = \frac{y}{m} = z. \end{cases} $

4. (valor 2,0) Determine o ângulo entre $ r : X = (1,0,0) + t(1,1,-2), t \in R $ e $ \pi : x + y - z - 1 = 0. $

5. (valor 2,0) Calcule a distância entre $ r : X = (-1,2,0) + t(1,3,1), t \in R $ e $ s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{3}. $

Question

UFBA - Universidade Federal da Bahia
IME - Instituto de Matemática e Estatística
DMAT - Departamento de Matemática
Disciplina MATA01 - Geometria Analítica
Professora - Ana Lucia Pinheiro Lima
Turma 06 - 2024.2

Estudante -

Avaliação 2 - Retas e Planos (valor 10,0)

1. (valor 2,0) Sejam os vetores $ \mathbf{u} = (3,m,-2), \mathbf{v} = (1,-1,0), \mathbf{w} = (2,-1,2). $ Determine o valor de $ m $ de modo que o volume do paralelepípedo determinado por $ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} $ seja igual a 16 u.v..

2. (valor 2,0) Escreva uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,3), B(3,-3,4), C(-1,1,-4).

3. (valor 2,0) Determine o valor de $ m $ para que as retas $ r $ e $ s $ sejam paralelas, onde
$ r : \begin{cases} x - my + 1 = 0 \ s : x = \frac{y}{m} = z. \end{cases} $

4. (valor 2,0) Determine o ângulo entre $ r : X = (1,0,0) + t(1,1,-2), t \in R $ e $ \pi : x + y - z - 1 = 0. $

5. (valor 2,0) Calcule a distância entre $ r : X = (-1,2,0) + t(1,3,1), t \in R $ e $ s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{3}. $

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão:

1. **Volume do paralelepípedo:**

O volume $ V $ de um paralelepípedo formado pelos vetores $\vec{u} = (3, m, -2)$, $\vec{v} = (1, -1, 0)$, $\vec{w} = (2, -1, 2)$ é dado pelo valor absoluto do determinante formado por esses vetores:

$$
   V = \left| \begin{vmatrix} 
   3 & m & -2 \ 
   1 & -1 & 0 \ 
   2 & -1 & 2 
   \end{vmatrix} \right|
   $$

Calculando o determinante:

$$
   V = \left| 3 \left((-1)\cdot2 - 0\cdot(-1)\right) - m \left(1\cdot2 - 0\cdot2\right) - 2 \left(1\cdot(-1) - (-1)\cdot2\right) \right|
   $$

$$
   V = \left| 3(-2) - m(2) - 2(-1 + 2) \right|
   $$

$$
   V = \left| -6 - 2m + 2 \right|
   $$

$$
   V = \left| -4 - 2m \right| = 16
   $$

Resolvendo a equação:

$$
   -4 - 2m = 16 \quad \text{ou} \quad -4 - 2m = -16
   $$

$$
   -2m = 20 \quad \rightarrow \quad m = -10
   $$

ou

$$
   -2m = -12 \quad \rightarrow \quad m = 6
   $$

**Resposta: $ m = -10 $ ou $ m = 6 $**

2. **Equação do plano:**

Os pontos $ A(2, 1, 3) $, $ B(3, -3, 4) $, $ C(-1, 1, -4) $ determinam um plano. Primeiro, encontramos dois vetores do plano:

$\vec{AB} = (1, -4, 1)$ e $\vec{AC} = (-3, 0, -7)$.

O vetor normal $\vec{n}$ é o produto vetorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$$
   \vec{n} = \begin{vmatrix} 
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 
   1 & -4 & 1 \ 
   -3 & 0 & -7 
   \end{vmatrix} = (28, -20, -12)
   $$

A equação do plano é:

$$
   28(x - 2) - 20(y - 1) - 12(z - 3) = 0
   $$

Simplificando:

$$
   28x - 20y - 12z = 44
   $$

**Resposta: $ 28x - 20y - 12z = 44 $**

3. **Paralelismo das retas:**

As retas $ r $ e $ s $ são paralelas se seus vetores diretores forem proporcionais. Para $ r $, o vetor diretor é $(1, m, 1)$. Para $ s $, o vetor diretor é $(m, 1, 1)$.

Devemos ter:

$$
   \frac{1}{m} = \frac{m}{1} = \frac{1}{1}
   $$

Isso implica que $ m^2 = 1 $, então $ m = 1 $ ou $ m = -1 $.

**Resposta: $ m = 1 $ ou $ m = -1 $**

4. **Ângulo entre reta e plano:**

O vetor diretor da reta $ r $ é $(1, 3, 1)$ e o vetor normal do plano $\pi$ é $(1, 1, -1)$.

O cosseno do ângulo $\theta$ entre a reta e o plano é dado por:

$$
   \cos \theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{d}\| \|\vec{n}\|}
   $$

Calculando:

$$
   \vec{d} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 3
   $$

$$
   \|\vec{d}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{11}, \quad \|\vec{n}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}
   $$

$$
   \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{33}}
   $$

**Resposta: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{33}}$**

5. **Distância entre reta e reta:**

As retas $ r $ e $ s $ têm vetores diretores $(1, 3, 1)$ e $(2, 3, 3)$, respectivamente.

A distância entre retas não paralelas é dada por:

$$
   d = \frac{|(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{\|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\|}
   $$

Onde $\vec{a} = (-1, 2, 0)$, $\vec{b} = (1, 0, 0)$, $\vec{d_1} = (1, 3, 1)$, $\vec{d_2} = (2, 3, 3)$.

Primeiro, calculamos $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$$
   \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} 
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 
   1 & 3 & 1 \ 
   2 & 3 & 3 
   \end{vmatrix} = (6, -1, -3)
   $$

Agora, calculamos $(\vec{b} - \vec{a}) = (2, -2, 0)$:

$$
   (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (2, -2, 0) \cdot (6, -1, -3) = 14
   $$

E a norma do produto vetorial:

$$
   \|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\| = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{46}
   $$

Finalmente, a distância:

$$
   d = \frac{14}{\sqrt{46}}
   $$

**Resposta: $ d = \frac{14}{\sqrt{46}} $**

UFBA - Universidade Federal da Bahia IME - Instituto de Mate...

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