(UFMA) A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo, no qual está inscrito um octaedro cujas 8 faces são triângulos equiláteros com 1 cm de lado. (Obs.: octaedro é o sólido resultante da reunião de duas pirâmides quadrangulares de bases congruentes.) Nessas condições, é correto afirmar que o volume do paralelepípedo, em centímetros cúbicos, é: a) √2/2 b) √3/2 c) √2 d) √3 e) 2√2
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Ana
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15/09/24

Question

Question image: (UFMA) A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo, no qual está inscrito um octaedro cujas 8 faces são triângulos equiláteros com 1 cm de lado. (Obs.: octaedro é o sólido resultante da reunião de duas pirâmides quadrangulares de bases congruentes.) Nessas condições, é correto afirmar que o volume do paralelepípedo, em centímetros cúbicos, é: a) √2/2 b) √3/2 c) √2 d) √3 e) 2√2

(UFMA) A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo, no qual está inscrito um octaedro cujas 8 faces são triângulos equiláteros com 1 cm de lado. (Obs.: octaedro é o sólido resultante da reunião de duas pirâmides quadrangulares de bases congruentes.) Nessas condições, é correto afirmar que o volume do paralelepípedo, em centímetros cúbicos, é: a) √2/2 b) √3/2 c) √2 d) √3 e) 2√2

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Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender que o octaedro está inscrito no paralelepípedo retângulo, e todas as suas faces são triângulos equiláteros com lados de 1 cm.

Um octaedro regular pode ser visto como duas pirâmides quadrangulares com bases congruentes. A altura de cada uma dessas pirâmides é a metade da diagonal do quadrado base.

1. Calcule a altura de uma pirâmide:
   - A diagonal do quadrado (base da pirâmide) é dada por $ \sqrt{2} \times \text{lado do quadrado} = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2} $.
   - A altura da pirâmide é a metade dessa diagonal, ou seja, $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. O paralelepípedo tem dimensões iguais à altura total do octaedro (2 vezes a altura de uma pirâmide) e ao lado do triângulo equilátero. Portanto, suas dimensões são:
   - Comprimento = 1 cm
   - Largura = 1 cm
   - Altura = $ \sqrt{2} $

3. Calcule o volume do paralelepípedo:
   $$
   V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura} = 1 \times 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}
   $$

**Resposta: c) $\sqrt{2}$**

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