(UFPR) Na função f(a+bi) = det([[ a+bi 1+i ], [-i 1-2i ]]), a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais:

a) Calcule f(1+i) e f(0).

b) Encontre números reais a e b tais que f(a+bi) = 0.

Question

a) Calcule f(1+i) e f(0).

b) Encontre números reais a e b tais que f(a+bi) = 0.

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos calcular o determinante da matriz dada:

$$
\begin{vmatrix}
a + bi & 1 + i \
-i & 1 - 2i
\end{vmatrix}
$$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ é calculado como:

$$
\text{det} = (a + bi)(1 - 2i) - (-i)(1 + i)
$$

Vamos calcular cada parte:

1. $(a + bi)(1 - 2i) = a(1 - 2i) + bi(1 - 2i)$

$$
   = a - 2ai + bi - 2bi^2 
   $$

Sabendo que $i^2 = -1$, temos:

$$
   = a - 2ai + bi + 2b = (a + 2b) + (-2a + b)i
   $$

2. $-(-i)(1 + i) = i(1 + i)$

$$
   = i + i^2 = i - 1
   $$

Agora, somamos as partes:

$$
(a + 2b) + (-2a + b)i + (-1 + i) = (a + 2b - 1) + (-2a + b + 1)i
$$

### a) Calcule $f(1+i)$ e $f(0)$.

**Para $f(1+i)$:**

Substituímos $a = 1$ e $b = 1$:

$$
f(1+i) = (1 + 2 \cdot 1 - 1) + (-2 \cdot 1 + 1 + 1)i = 2 + 0i = 2
$$

**Para $f(0)$:**

Substituímos $a = 0$ e $b = 0$:

$$
f(0) = (0 + 2 \cdot 0 - 1) + (-2 \cdot 0 + 0 + 1)i = -1 + i
$$

### b) Encontre números reais $a$ e $b$ tais que $f(a+bi) = 0$.

Queremos que:

$$
(a + 2b - 1) + (-2a + b + 1)i = 0
$$

Isso implica que:

1. $a + 2b - 1 = 0$
2. $-2a + b + 1 = 0$

Resolvendo o sistema de equações:

Da equação 1: $a + 2b = 1$

Da equação 2: $-2a + b = -1$

Multiplicando a primeira equação por 2:

$2a + 4b = 2$

Somando com a segunda equação:

$$
2a + 4b - 2a + b = 2 - 1
$$

$$
5b = 1 \implies b = \frac{1}{5}
$$

Substituindo $b$ na primeira equação:

$$
a + 2\left(\frac{1}{5}\right) = 1
$$

$$
a + \frac{2}{5} = 1 \implies a = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
$$

Portanto, os valores são $a = \frac{3}{5}$ e $b = \frac{1}{5}$.

(UFPR) Na função f(a+bi) = det([[ a+bi 1+i ], [-i 1-2i ]])...