(UFRGS) Considere as afirmações a seguir: I. tan92∘=−tan88∘ II. tan178∘=tan88∘ III. tan268∘=tan88∘ IV. tan272∘=−tan88∘ Quais estão corretas?
I E III
III E IV
I, II, IV
I , III, IV
Opção 5

Question

(UFRGS) Considere as afirmações a seguir: I. tan92∘=−tan88∘ II. tan178∘=tan88∘ III. tan268∘=tan88∘ IV. tan272∘=−tan88∘ Quais estão corretas? 
I E III
 III E IV
 I, II, IV 
I , III, IV
 Opção 5

Accepted Answer

Para determinar quais das afirmações são corretas, precisamos entender como a tangente se comporta em diferentes quadrantes e utilizar as propriedades de periodicidade e simetria da função tangente. A tangente tem um período de $180^\circ$ e, portanto, $\tan(\theta) = \tan(\theta + 180^\circ)$. Além disso, a tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrantes e negativa no segundo e quarto quadrantes.

Vamos analisar cada afirmação:

I. $\tan(92^\circ) = -\tan(88^\circ)$

- $92^\circ$ está no segundo quadrante, onde a tangente é negativa, e $88^\circ$ está no primeiro quadrante, onde a tangente é positiva. Dado que $\tan(90^\circ + \theta) = -\tan(90^\circ - \theta)$, essa afirmação é correta.

II. $\tan(178^\circ) = \tan(88^\circ)$

- $178^\circ$ está muito próximo do segundo quadrante, quase no terceiro, e sua tangente será negativa, enquanto $88^\circ$ tem uma tangente positiva. No entanto, considerando a periodicidade e o fato de que ambos estão próximos ao eixo y (de lados opostos), essa afirmação parece ser incorreta, pois $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan(\theta)$.

III. $\tan(268^\circ) = \tan(88^\circ)$

- $268^\circ$ está no terceiro quadrante, onde a tangente é positiva. Mas, pela periodicidade, $\tan(268^\circ) = \tan(88^\circ)$ não é diretamente verdadeiro devido à diferença de quadrantes e ao sinal da tangente. Na verdade, $\tan(268^\circ) = \tan(268^\circ - 180^\circ) = \tan(88^\circ)$, então essa afirmação é incorreta porque a tangente de $268^\circ$ seria negativa, não positiva como a de $88^\circ$.

IV. $\tan(272^\circ) = -\tan(88^\circ)$

- $272^\circ$ está no quarto quadrante, onde a tangente é negativa, e $88^\circ$ está no primeiro quadrante. Considerando a periodicidade e simetria, $\tan(272^\circ) = \tan(272^\circ - 360^\circ) = \tan(-88^\circ)$, o que significa que $\tan(272^\circ) = -\tan(88^\circ)$, tornando essa afirmação correta.

Portanto, as afirmações corretas são I e IV. A opção que corresponde a essas escolhas não foi listada explicitamente nas opções fornecidas, sugerindo um possível erro na interpretação ou na formulação das opções. Com base na análise, a resposta mais precisa seria "I e IV", mas essa combinação não aparece nas opções fornecidas. Portanto, pode haver um mal-entendido na análise ou nas opções dadas. A descrição correta das relações seria reconsiderar a análise de III, que foi interpretada incorretamente aqui:

Corrigindo:

III. $\tan(268^\circ)$ de fato se relaciona com $\tan(88^\circ)$ pela periodicidade de $180^\circ$, mas a maneira correta de ver isso seria notar que $\tan(268^\circ) = \tan(268^\circ - 180^\circ) = \tan(88^\circ)$, indicando um erro na explicação anterior. Na realidade, $\tan(268^\circ)$ não é igual a $\tan(88^\circ)$ pois eles estão em quadrantes diferentes com sinais diferentes para a tangente.

Reavaliando corretamente, a única afirmação verdadeiramente correta sem confusão é IV, e todas as outras têm problemas com a interpretação inicial apresentada. Assim, parece haver um erro na análise detalhada acima, especialmente ao lidar com as propriedades da tangente em diferentes quadrantes.

(UFRGS) Considere as afirmações a seguir: I. tan92∘=−tan88∘ ...

(UFRGS) Considere as afirmações a seguir: I. tan92∘=−tan88∘ II. tan178∘=tan88∘ III. tan268∘=tan88∘ IV. tan272∘=−tan88∘ Quais estão corretas? I E III III E IV I, II, IV I , III, IV Opção 5

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