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UFRGS - IME Depto. de Matemática Pura e Aplicada MAT01355 - Álgebra Linear I A RECUPERAÇÃO - 09 de Janeiro de 2025

Nome: THAYSA DOS SANTOS CARBONERA Cartão: 000650

Em qualquer questão que houver escalonamentos indicar claramente as operações usadas na resolução. Desenvolvimento das questões 1 a 4 deve ser apresentado com respostas claramente indicadas.

• Questão 1 : Dada a matriz A = [ 1 0 1 ] [ 0 0 0 ] [ -1 0 0 ] [ 0 1 -1 ]

a) Encontre uma base para o Espaço das Colunas da matriz; b) Indique qual o posto de A; c) Responda: o sistema Ax = b tem solução para qualquer vetor b do R4? ( SIM ) ( NÃO )

• Questão 2 : Considere a transformação linear T : R3 -> R4 dada por T (x, y, z) = (x + 3z, y - 4z, 3c + 2y + z, -2x - y + 3)

a) Construa a matriz canônica da transformação. b) Verifique se o vetor v = (1, -5, -7, 3) pertence à imagem de T.

• Questão 3 : Determine a equação da reta de mínimos quadráticos que melhor se ajusta aos pontos cujas coordenadas (x, y) são dadas por (-1, -1), (0, 1) e (1, 2).

• Questão 4 : Determine uma base para o auto-espaço associado ao autovalor λ = 4, da matriz A = [ 3 0 2 0 ] [ 1 3 1 0 ] [ 0 1 1 0 ] [ 0 0 0 4 ]

• Questão 5: Das afirmativas abaixo, indique as que são Verdadeiras (V) ou Falsas (F): (I) Dados os vetores v1 = (-2, 0, 1) e v2 = (1, 0, 2): a) subespaço gerado pelos dois vetores tem dimensão 2 ( V ) ( F ) b) {v1, v2} é linearmente independente ( V ) ( F )

(II) Se A é diagonalizável por matriz ortogonal, isto é A = QDQT onde Q é uma matriz ortogonal, então: a) A é inversível. ( V ) ( F ) b) A é diagonalizável por matriz ortogonal. ( V ) ( F )