UFSCar-SP: Adaptada) Em seu trabalho, João têm 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria, têm em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para um almoço, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas.
De acordo com o ENUNCIADO (2), determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas, de forma que cada um convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos, dado que cada um convide pelo menos um dentre os gêneros informados.

Question

UFSCar-SP: Adaptada) Em seu trabalho, João têm 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria, têm em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para um almoço, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas.
De acordo com o ENUNCIADO (2), determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas, de forma que cada um convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos, dado que cada um convide pelo menos um dentre os gêneros informados.

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar as condições impostas: João deve convidar 3 amigos entre seus 5 (3 homens e 2 mulheres), e Maria também deve convidar 3 amigos entre os seus 4 (2 homens e 2 mulheres). Além disso, cada um deve convidar pelo menos uma pessoa de cada gênero.

### Passo 1: Escolhas de João
João precisa escolher 3 amigos, com pelo menos um homem e uma mulher. Vamos considerar os casos possíveis:

1. **2 homens e 1 mulher:**
   - Escolha de 2 homens entre 3: $ \binom{3}{2} = 3 $
   - Escolha de 1 mulher entre 2: $ \binom{2}{1} = 2 $
   - Total para este caso: $ 3 \times 2 = 6 $

2. **1 homem e 2 mulheres:**
   - Escolha de 1 homem entre 3: $ \binom{3}{1} = 3 $
   - Escolha de 2 mulheres entre 2: $ \binom{2}{2} = 1 $
   - Total para este caso: $ 3 \times 1 = 3 $

Total de maneiras para João: $ 6 + 3 = 9 $

### Passo 2: Escolhas de Maria
Maria precisa escolher 3 amigos, com pelo menos um homem e uma mulher. Vamos considerar os casos possíveis:

1. **2 homens e 1 mulher:**
   - Escolha de 2 homens entre 2: $ \binom{2}{2} = 1 $
   - Escolha de 1 mulher entre 2: $ \binom{2}{1} = 2 $
   - Total para este caso: $ 1 \times 2 = 2 $

2. **1 homem e 2 mulheres:**
   - Escolha de 1 homem entre 2: $ \binom{2}{1} = 2 $
   - Escolha de 2 mulheres entre 2: $ \binom{2}{2} = 1 $
   - Total para este caso: $ 2 \times 1 = 2 $

Total de maneiras para Maria: $ 2 + 2 = 4 $

### Passo 3: Combinação das escolhas
Finalmente, multiplicamos o número de maneiras de escolha de João pelo número de maneiras de escolha de Maria para obter o total de combinações possíveis:

$$ 9 \times 4 = 36 $$

Portanto, há **36** maneiras de convidar essas pessoas, de forma que cada um convide exatamente 3 amigos, respeitando as restrições de gênero.

UFSCar-SP: Adaptada) Em seu trabalho, João têm 5 amigos, sen...

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