(UFV) Sabendo que senx = 1/3 e π/2

Q: (UFV) Sabendo que senx = 1/3 e π/2 < x < π, o valor de cossecx - secx cotgx - 1 é:

Para resolver o problema, precisamos calcular a expressão dada: \[ \frac{\csc x - \sec x}{\cot x - 1} \] Sabendo que $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, podemos determinar os outros valores trigonométricos. 1. **Cálculo do cosseno:** \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{9} \] Como $x$ está no segundo quadrante, $\cos x$ é negativo: \[ \cos x = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] 2. **Cálculo da cosecante e secante:** \[ \csc x = \frac{1}{\sin x} = 3 \] \[ \sec x = \frac{1}{\cos x} = -\frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{4} \] 3. **Cálculo da cotangente:** \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2} \] 4. **Substituindo na expressão:** \[ \frac{\csc x - \sec x}{\cot x - 1} = \frac{3 + \frac{3\sqrt{2}}{4}}{-2\sqrt{2} - 1} \] Simplificando a fração: \[ \text{Numerador: } 3 + \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{12 + 3\sqrt{2}}{4} \] \[ \text{Denominador: } -2\sqrt{2} - 1 \] Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador: \[ \frac{\frac{12 + 3\sqrt{2}}{4} \cdot (-2\sqrt{2} + 1)}{(-2\sqrt{2} - 1)(-2\sqrt{2} + 1)} \] Calculando o denominador: \[ (-2\sqrt{2})^2 - 1^2 = 8 - 1 = 7 \] Calculando o numerador: \[ (12 + 3\sqrt{2})(-2\sqrt{2} + 1) = -24\sqrt{2} + 12 - 6 + 3\sqrt{2} = -21\sqrt{2} + 6 \] Portanto, a expressão se simplifica para: \[ \frac{-21\sqrt{2} + 6}{28} \] Simplificando, obtemos: \[ \frac{-3\sqrt{2} + 1}{4} \] Assim, a resposta correta é **3**.

Question

(UFV) Sabendo que senx = 1/3 e π/2 < x < π, o valor de

cossecx - secx
cotgx - 1 é:

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a expressão dada:

$$
\frac{\csc x - \sec x}{\cot x - 1}
$$

Sabendo que $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, podemos determinar os outros valores trigonométricos.

1. **Cálculo do cosseno:**

$$
   \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{9}
   $$

Como $x$ está no segundo quadrante, $\cos x$ é negativo:

$$
   \cos x = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
   $$

2. **Cálculo da cosecante e secante:**

$$
   \csc x = \frac{1}{\sin x} = 3
   $$

$$
   \sec x = \frac{1}{\cos x} = -\frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{4}
   $$

3. **Cálculo da cotangente:**

$$
   \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}
   $$

4. **Substituindo na expressão:**

$$
   \frac{\csc x - \sec x}{\cot x - 1} = \frac{3 + \frac{3\sqrt{2}}{4}}{-2\sqrt{2} - 1}
   $$

Simplificando a fração:

$$
   \text{Numerador: } 3 + \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{12 + 3\sqrt{2}}{4}
   $$

$$
   \text{Denominador: } -2\sqrt{2} - 1
   $$

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

$$
   \frac{\frac{12 + 3\sqrt{2}}{4} \cdot (-2\sqrt{2} + 1)}{(-2\sqrt{2} - 1)(-2\sqrt{2} + 1)}
   $$

Calculando o denominador:

$$
   (-2\sqrt{2})^2 - 1^2 = 8 - 1 = 7
   $$

Calculando o numerador:

$$
   (12 + 3\sqrt{2})(-2\sqrt{2} + 1) = -24\sqrt{2} + 12 - 6 + 3\sqrt{2} = -21\sqrt{2} + 6
   $$

Portanto, a expressão se simplifica para:

$$
   \frac{-21\sqrt{2} + 6}{28}
   $$

Simplificando, obtemos:

$$
   \frac{-3\sqrt{2} + 1}{4}
   $$

Assim, a resposta correta é **3**.

(UFV) Sabendo que senx = 1/3 e π/2 < x < π, o valor de coss...

(UFV) Sabendo que senx = 1/3 e π/2 < x < π, o valor de

cossecx - secx cotgx - 1 é:

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