Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar o cilindro em uma esfera. Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, concluiu-se que o raio R da esfera construída é igual a
a) 12.
b) 15.
c) 24.
d) 3√60.
e) 6√30.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos igualar o volume do cilindro ao volume da esfera, já que a massa modeladora é transformada de uma forma para outra.

### Volume do cilindro

A fórmula do volume de um cilindro é:

$$
V_c = \pi r^2 h
$$

Onde:
- $ r $ é o raio da base do cilindro.
- $ h $ é a altura do cilindro.

Dado que o diâmetro do cilindro é 24 cm, o raio $ r $ será 12 cm. A altura $ h $ é 15 cm.

Substituindo os valores:

$$
V_c = \pi (12)^2 \times 15 = 2160\pi
$$

### Volume da esfera

A fórmula do volume de uma esfera é:

$$
V_e = \frac{4}{3} \pi R^3
$$

Igualando os volumes:

$$
2160\pi = \frac{4}{3} \pi R^3
$$

Cancelando $\pi$ dos dois lados e resolvendo para $ R^3 $:

$$
2160 = \frac{4}{3} R^3
$$

Multiplicando ambos os lados por $\frac{3}{4}$:

$$
R^3 = 1620
$$

Portanto, o raio $ R $ é a raiz cúbica de 1620:

$$
R = \sqrt[3]{1620}
$$

Agora, simplificando $\sqrt[3]{1620}$:

$$
1620 = 2^2 \times 3^4 \times 5
$$

Portanto:

$$
R = 6\sqrt[3]{30}
$$

**Resposta: e) $6\sqrt[3]{30}$**

Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa...

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