Um bloco de massa m1=1,6 Kg, movendo-se inicialmente para a direita com velocidade
escalar de 4,0 m/s sobre um trilho horizontal sem atrito, colide com uma mola sem
massa ligada a um segundo bloco de massa m2=2,1Kg, movendo-se para a esquerda
com velocidade escalar de 2,5 m/s como na figura. A mola tem constante elástica de 600
N/m.
a) Determine a velocidade de m2 no instante em que m1 está em movimento para a
direita com velocidade escalar de 3 m/s.
b) Determine a compressão da mola nesse instante.
c) Determine a compressão máxima da mola durante a colisão (colisão perfeitamente
inelástica)

Question

Um bloco de massa m1=1,6 Kg, movendo-se inicialmente para a direita com velocidade
escalar de 4,0 m/s sobre um trilho horizontal sem atrito, colide com uma mola sem
massa ligada a um segundo bloco de massa m2=2,1Kg, movendo-se para a esquerda
com velocidade escalar de 2,5 m/s como na figura. A mola tem constante elástica de 600
N/m.
a) Determine a velocidade de m2 no instante em que m1 está em movimento para a
direita com velocidade escalar de 3 m/s.
b) Determine a compressão da mola nesse instante.
c) Determine a compressão máxima da mola durante a colisão (colisão perfeitamente
inelástica)

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos aplicar a conservação do momento linear e a conservação de energia.

### a) Velocidade de $ m_2 $ quando $ m_1 $ tem velocidade de 3 m/s

A conservação do momento linear nos diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.

Antes da colisão:
- Momento de $ m_1 $: $ p_{m1\_inicial} = m_1 \cdot v_{m1\_inicial} = 1,6 \, \text{kg} \cdot 4,0 \, \text{m/s} $
- Momento de $ m_2 $: $ p_{m2\_inicial} = m_2 \cdot (-v_{m2\_inicial}) = 2,1 \, \text{kg} \cdot (-2,5 \, \text{m/s}) $

Depois da colisão:
- Momento de $ m_1 $: $ p_{m1\_final} = m_1 \cdot v_{m1\_final} = 1,6 \, \text{kg} \cdot 3,0 \, \text{m/s} $
- Momento de $ m_2 $: $ p_{m2\_final} = m_2 \cdot v_{m2\_final} $

Conservação do momento:
$$
p_{m1\_inicial} + p_{m2\_inicial} = p_{m1\_final} + p_{m2\_final}
$$

Substituindo os valores:
$$
(1,6 \cdot 4,0) + (2,1 \cdot -2,5) = (1,6 \cdot 3,0) + (2,1 \cdot v_{m2\_final})
$$
$$
6,4 - 5,25 = 4,8 + 2,1 \cdot v_{m2\_final}
$$
$$
1,15 = 4,8 + 2,1 \cdot v_{m2\_final}
$$
$$
2,1 \cdot v_{m2\_final} = 1,15 - 4,8
$$
$$
2,1 \cdot v_{m2\_final} = -3,65
$$
$$
v_{m2\_final} = \frac{-3,65}{2,1}
$$
$$
v_{m2\_final} \approx -1,74 \, \text{m/s}
$$

### b) Compressão da mola nesse instante

A energia cinética total antes e depois da colisão mais a energia potencial da mola deve ser conservada (considerando que não há atrito).

Energia cinética inicial:
$$
E_{c\_inicial} = \frac{1}{2} m_1 v_{m1\_inicial}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{m2\_inicial}^2
$$
$$
E_{c\_inicial} = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 4,0^2 + \frac{1}{2} \cdot 2,1 \cdot (-2,5)^2
$$
$$
E_{c\_inicial} = 12,8 + 6,5625 = 19,3625 \, \text{J}
$$

Energia cinética final:
$$
E_{c\_final} = \frac{1}{2} m_1 v_{m1\_final}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{m2\_final}^2
$$
$$
E_{c\_final} = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 3,0^2 + \frac{1}{2} \cdot 2,1 \cdot (-1,74)^2
$$
$$
E_{c\_final} = 7,2 + 3,1827 = 10,3827 \, \text{J}
$$

Energia potencial da mola:
$$
E_{p\_mola} = E_{c\_inicial} - E_{c\_final}
$$
$$
E_{p\_mola} = 19,3625 - 10,3827 = 8,9798 \, \text{J}
$$

Compressão da mola:
$$
E_{p\_mola} = \frac{1}{2} k x^2
$$
$$
8,9798 = \frac{1}{2} \cdot 600 \cdot x^2
$$
$$
x^2 = \frac{8,9798 \times 2}{600}
$$
$$
x^2 = \frac{17,9596}{600}
$$
$$
x^2 = 0,02993
$$
$$
x \approx 0,173 \, \text{m}
$$

### c) Compressão máxima da mola durante a colisão

Na compressão máxima, toda a energia cinética inicial é convertida em energia potencial da mola. Portanto:

$$
E_{c\_inicial} = \frac{1}{2} k x_{\text{max}}^2
$$

$$
19,3625 = \frac{1}{2} \cdot 600 \cdot x_{\text{max}}^2
$$

$$
x_{\text{max}}^2 = \frac{19,3625 \times 2}{600}
$$

$$
x_{\text{max}}^2 = \frac{38,725}{600}
$$

$$
x_{\text{max}}^2 = 0,06454
$$

$$
x_{\text{max}} \approx 0,254 \, \text{m}
$$

Portanto, a compressão máxima da mola durante a colisão é aproximadamente $0,254 \, \text{m}$.

Um bloco de massa m1=1,6 Kg, movendo-se inicialmente para a ...

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