Um bloco desce um trilho sem atrito, a partir do repouso, de uma altura $ h=3.5 \mathrm{~m} $, e depois sobe um plano inclinado, de inclinação $ \theta=\pi / 4 \mathrm{rad} $, cujo coeficiente de atrito cinético com o bloco é $ \mu_{c}=0.15 $. Determine a altura máxima $ y_{\max } $ que o bloco atinge. Caso necessário, utilize $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $.
$ y_{\max }= $ $ \square $ m (uma casa decimal).

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, aplicaremos os conceitos de conservação de energia mecânica e trabalho realizado pela força de atrito.

Inicialmente, o bloco possui apenas energia potencial gravitacional ($E_{p}$) na altura $h$, que é convertida em energia cinética ($E_{c}$) à medida que desce o trilho sem atrito. Quando começa a subir o plano inclinado com atrito, parte dessa energia cinética é convertida novamente em energia potencial gravitacional, enquanto outra parte é dissipada pelo trabalho realizado pela força de atrito ($W_{f}$).

A energia potencial inicial é dada por:
$$ E_{p_i} = mgh $$

No ponto mais alto do plano inclinado, a energia cinética é zero e toda a energia mecânica restante é potencial. No entanto, deve-se levar em conta a energia perdida devido ao atrito. A força de atrito ($F_{f}$) é dada por:
$$ F_{f} = \mu_{c} N $$
onde $N$ é a força normal, que, para um plano inclinado, é $N = mg\cos(\theta)$. O trabalho realizado pela força de atrito enquanto o bloco sobe é:
$$ W_{f} = F_{f}d = \mu_{c} mg\cos(\theta)d $$
onde $d$ é a distância percorrida pelo bloco no plano inclinado, que corresponde à base do triângulo formado ao atingir a altura $y_{\max}$.

A relação entre a altura máxima $y_{\max}$ e a distância $d$ no plano inclinado pode ser descrita através da trigonometria:
$$ \sin(\theta) = \frac{y_{\max}}{d} \Rightarrow d = \frac{y_{\max}}{\sin(\theta)} $$

A energia potencial final é:
$$ E_{p_f} = mgy_{\max} $$

Aplicando a conservação de energia e considerando a energia dissipada pelo atrito, temos:
$$ E_{p_i} - W_{f} = E_{p_f} $$
$$ mgh - \mu_{c} mg\cos(\theta) \left( \frac{y_{\max}}{\sin(\theta)} \right) = mgy_{\max} $$
$$ gh - \mu_{c} g\cos(\theta) \left( \frac{y_{\max}}{\sin(\theta)} \right) = gy_{\max} $$

Substituindo $g = 10 \, \text{m/s}^2$, $h = 3.5 \, \text{m}$, $\mu_{c} = 0.15$, e $\theta = \pi/4$, obtemos:
$$ 10 \cdot 3.5 - 0.15 \cdot 10 \cdot \cos(\pi/4) \left( \frac{y_{\max}}{\sin(\pi/4)} \right) = 10y_{\max} $$
$$ 35 - 1.5 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{y_{\max}}{\sqrt{2}} = 10y_{\max} $$
$$ 35 - 1.5y_{\max} = 10y_{\max} $$
$$ 35 = 11.5y_{\max} $$
$$ y_{\max} = \frac{35}{11.5} $$

Calculando $y_{\max}$:
$$ y_{\max} \approx 3.043 \, \text{m} $$

Portanto, a altura máxima $y_{\max}$ que o bloco atinge é aproximadamente $3.0$ metros (arredondando para uma casa decimal).

Um bloco desce um trilho sem atrito, a partir do repouso, de...

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